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一、曲面方程的概念
引例:求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的
轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为),则AMBM,即
222
(x−1)+(y−2)+(z−3)
222
(x−2)+(y+1)+(z−4)
化简得2x−6y+2z−70
说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
定义1.如果曲面S与方程)=0有下述关系:
(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;
(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,
则)=0叫做曲面S的方程,
)0
曲面S叫做方程)=0的图形.z
S
两个基本问题:
(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,oy
x
求曲面方程.
(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状
(必要时需作图).
例1.求动点到定点距离为
方程.
解:设轨迹上动点为依题意
即(x−x)2+(y−y)2+(z−z)2
000
故所求方程为
(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2
特别,当M在原点时,球面方程为
0
x2+y2+z2R2
表示上(下)球面.
例2.研究方程表示怎样
的曲面.
解:配方得
此方程表示:球心为M0(1,−2,0),
半径为的球面.
5
说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)
都可通过配方研究它的图形.其图形可能是
一个球面,或点,或虚轨迹.
二、旋转曲面
定义2.一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转
一周所形成的曲面叫做旋转曲面.
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