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山西省孝义市（省际名校2023-2024学年高三数学试题4月适应性考试试题

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为等差数列的公差，且，若，则的最小值为（）

A．8 B．9 C．10 D．11

2．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是()

A． B． C． D．

3．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（）

A．1 B． C． D．

5．要得到函数的图像，只需把函数的图像（）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

6．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（）

A． B． C． D．

8．已知，是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于，两点，若，则△的内切圆的半径为（）

A． B． C． D．

9．下列命题中，真命题的个数为（）

①命题“若，则”的否命题；

②命题“若，则或”；

③命题“若，则直线与直线平行”的逆命题.

A．0 B．1 C．2 D．3

10．“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）

A． B． C． D．

11．已知非零向量，满足，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解:

12．要得到函数的图象，只需将函数的图象

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如果函数（,且,）在区间上单调递减,那么的最大值为__________．

14．已知等比数列满足公比，为其前项和，，，构成等差数列，则_______．

15．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．

16．设函数，若在上的最大值为，则________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）第十四届全国冬季运动会召开期间，某校举行了“冰上运动知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：

（1）求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；

（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动，并指定2名负责人，求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.

组号

分组

频数

频率

第1组

15

0.15

第2组

35

0.35

第3组

b

0.20

第4组

20

第5组

10

0.1

合计

1.00

18．（12分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）若射线的极坐标方程为（）.设与相交于点，与相交于点，求.

19．（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）曲线在点处的切线斜率为.

（i）求；

（ii）若，求整数的最大值.

20．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若的面积为，，求的周长.

21．（12分）椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点.