广西平果市铝城中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学测试卷（解析版）.docxVIP

2024年高二上学期期中考试测试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知向量，且，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】依题意存在实数，使得，根据根据向量相等得到方程组，解得即可；

解：因为向量，且，所以存在实数，使得，即，所以，解得，所以

故选：C

2.已知，直线的斜率是直线斜率的倍，则直线的倾斜角为（）

A.30° B.45° C.60° D.90°

【答案】C

【解析】

【分析】先利用题意得到直线的斜率，可得到直线的斜率，即可求得答案

由可得，

因为直线的斜率是直线斜率的倍，所以直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，则，解得，

故选：C

3.若，则与的夹角为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出两向量的模及数量积，根据即可求解.

∵，

则，且，

∴.

故选：A.

4.如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，进而求得在上的投影向量的长度，进而结合勾股定理求解即可.

以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

所以，

所以在上的投影向量的长度为：，

所以到直线的距离为.

故选：C.

5.点M为圆：上任意一点，直线过定点P，则的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先把定点P坐标求出来，，最大值为，，三点共线，且位于与之间，求解方法为连接定点与圆心的线段长加上半径即可.

整理为：

令，解得：，所以定点P坐标为，代入圆的方程中，，所以在圆外，因为点M为圆：上任意一点，设圆C的半径为r=2，所以的最大值应该为，由两点间距离公式：，所以的最大值为

故选：B

6.三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间向量的共面定理计算即可.

如图所示，因为点M在平面BCD内，可设，

则有，

即用向量，，表示，三个基向量的系数之和为1，显然A符合题意．

故选：A．

7.画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（）

A.或 B.或 C.或 D.或

【答案】B

【解析】

【分析】求出蒙日圆的方程，分析可知，两圆内切或外切，根据圆与圆的位置关系可得出关于的等式，解之即可.

由已知条件可知，且，

蒙日圆方程为，蒙日圆的圆心为原点，半径为，

圆的圆心为，半径为，

因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，

则或，

又因为，所以，或，解得或，

故选：B.

8.已知圆，过平面上的点引圆的两条切线，使得，则的轨迹方程为（）

A B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】连接圆心和切点，能得到正方形，则为定长，即点P在以C为圆心，2为半径的圆上.

圆，半径，设，

设切线与圆分别切于，

所以，因为两切线，

所以四边形为正方形，所以，

点P在以C为圆心，2为半径的圆上,

则的轨迹方程为．

故选：B．

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分.

9.以下四个命题表述正确的是（）

A.直线恒过定点

B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1

C.曲线与曲线恰有三条公切线，则

D.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径和列式求得判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D．

由，得，

联立，解得，

直线恒过定点，故A错误；

圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，

故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，

因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；

两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式，

曲线化为标准式，

圆心距为，解得，故C正确；

设点的坐标为，，以为直径的圆的方程为，

两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，

令，，解得，，故直线经过定点，，故D正确．

故选：BCD

10.已知椭圆，则下列结论正确的是（）

A.若，则