高等数学（第二版）课件：数列的极限.ppt

一、数列的概念二、数列的极限数列的极限极限与连续三、收敛数列的性质一、数列的概念定义1按一定顺序排列的一列数：称为数列，记为。数列中的每一个数称为数列的项，第项称为通项或一般项。数列也可以理解为定义域为正整数集的函数，从而可以表示为因此，数列又可以称为整变量函数。由于数列是一种特殊的函数，所以我们下面讨论其单调性和有界性。则称数列是单调增加的。对于数列，若有成立，则称数列是单调减少的。对于数列，若有成立，单调增加或单调减少的数列统称为单调数列。对于数列，若存在正数，使得对于一切的都有成立，则称数列是有界的，否则称是无界的。例如数列是有界的，而是无界的。例如数列是单调增加的，数列是单调减少的。若数列的项数无限增大时，它的一般项无限接近于某个确定的常数，则称是数列的极限，或称数列收敛于，记为二、数列的极限从上述各个数列可以看到，随着的逐渐增大，它们有其各自的变化趋势：数列无限接近于常数0，但数列则不能。下面给出数列极限的初步定义：或（当时）。若这样的常数不存在，就称数列没有极限或称数列发散。当无限增大时，如果无限增大，则该数列极限不存在。此时，为方便起见，记为。但是，上述数列极限是直观上的观察结果，它没有反映接近的程度与之间的关系，不能满足数学理论上的推导的需要，为此，对数列极限需要给以严格的、精确的定义。定义2设数列及常数，如果对于任意给定的正数，总存在一个正整数，当时，不等式恒成立，则称常数为数列的极限，或称数列收敛于。例1用定义验证。对于任意给定的正数，要使证：只要，于是取正整数，则当， 恒成立，从而