专题3-4 【椭圆培优】14个常考二级结论与模型（解析版）.docxVIP

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专题3-4椭圆培优之14个常考二级结论与模型

总览

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题型解读

TOC\o1-3\n\h\z\u【题型1】点差法

【题型2】椭圆的第三定义

【题型3】焦点弦被焦点分为定比

【题型4】椭圆焦半径公式与焦点弦公式

【题型5】椭圆与蒙日圆

【题型6】椭圆与Dandelin双球模型

【题型7】椭圆内接三角形：平移+齐次化（手电筒模型）

【题型8】调和点列模型

【题型9】椭圆内接四边形（自极三角形）

【题型10】椭圆内接梯形

【题型11】调和线束平行线截中点模型

【题型12】调和线束斜率模型之等差关系

【题型13】调和线束斜率模型之调和关系（斜率倒数构成等差）

【题型14】调和线束斜率模型之角平分线模型

题型

题型汇编

知识梳理与常考题型

【题型1】点差法

椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有

证明（点差法）：设，，则，

，，

∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得

① ②

两式相减得：，整理得

∴

【思考】

（1）椭圆焦点在轴上时，结论是否仍然成立？

（1）设，，则，

仍有，，

∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得

两式相减得：，

整理得∴

若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为．

【答案】

【分析】利用点差法求得正确答案.

【详解】由于，所以点在椭圆内部，

设，，由已知，，

，两式相减得，

∴．

（2024深圳南山区高二期末）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可.

【详解】设,

因为为线段的中点，所以，

则，两式相减可得：，

整理得，即，

所以，所以.

（杭州学军中学高二上）焦距为，并且截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为（????）

A． B．

C． D．或

【答案】A

【分析】设椭圆方程为，且，及交点，将两点代入椭圆方程可得，根据弦中点坐标关系可得，结合直线方程得，再由椭圆的焦距求得的值，即可得椭圆标准方程.

【详解】解：设椭圆方程为，且

设直线与椭圆相交的两点坐标为，由题意可知，即，

所以，

又在椭圆上，可得：，两式相减得，

整理得：，则，所以，

又直线的斜率为，所以，即，所以

椭圆的焦距为，所以，则，

故可得：解得，故椭圆的标准方程为：.

（重庆八中高二期末）已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意求出点坐标，再利用点差法求得，进而可得椭圆离心率.

【详解】依题意，椭圆的左焦点为，，

过作轴，垂足为，由，

得，，则，

设，则有，，

由，两式相减得，

则有，

所以.

已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为.

【答案】

【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得三点共线，从而求得，由此可求得双曲线的离心率.

【简析】取AB，CD的中点M，N，易知，即，故M、O、N三点共线，而△PAB与△PCD相似，故P、M、N三点也共线，则，故

【详解】设，线段AB的中点，

则，两式相减得，

所以①，

设，线段CD的中点，同理得②，

因为，所以，则三点共线，

所以，将①②代入得：，

即，

所以，即，

所以

【巩固练习1】已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案.

【详解】的中点坐标为，则，

设，，则，，

相减得到：，即，，

又，，解得，，椭圆的方程为.

【巩固练习2】（23-24高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的焦距为，直线过点，且与椭圆相交于两点，是线段的中点，为坐标原点.

(1)求椭圆的方程

【答案】

【分析】利用直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理和中点坐标公式来求解椭圆方程；

【详解】由直线过点，得，

联立，消得：，易知，

设，则，整理得：，

又因为，所以，解得，

即椭圆.

【巩固练习3】（华中师范大学第一附属中学高二期末）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知求出