专题3-6 双曲线的离心率与常用二级结论【12类题型汇总】（解析版）-A4.docxVIP

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专题3-6双曲线的离心率与常用二级结论（12类题型汇总）

总览题型解读

总览

题型解读

TOC\o1-3\n\h\z\u模块一：求离心率与其它值

【题型1】结合余弦定理解焦点三角形

【题型2】双焦点三角形模型：导边

【题型3】构造齐次化方程

【题型4】用2次余弦定理求离心率

【题型5】利用几何性质求离心率

【题型6】与向量结合

【题型7】求离心率范围

模块二：双曲线中常考模型

【题型8】点差法（弦中点模型）

【题型9】点差法（第三定义）

【题型10】渐近线的垂线模型

【题型11】双曲线焦点三角形内切圆

【题型12】焦点弦长与焦半径公式

题型汇编知识梳理与常考题型

题型汇编

知识梳理与常考题型

模块一：求离心率与其它值

【题型1】结合余弦定理解焦点三角形

（浙江嘉兴·高二统考期末）已知和是双曲线：的左、右焦点，是上一点，当时，，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知结合双曲线的定义及性质，利用余弦定理，总综合可得，进而即可求解．

【详解】不妨设，

在△中，由余弦定理知，，

因为，

则，

两式联立得，

因为，，

整理得，化简得，

所以离心率．故选：．

??

已知，为双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率的值为

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为，

点到渐近线的距离，，

在中，

运用余弦定理，可得，

，

，，．

【题型2】双焦点三角形模型：导边

已知双曲线方程为，，两焦点分别为，，直线经过与双曲线交于两点，其中且，则此双曲线离心率为.

【答案】

【分析】连接，设利用双曲线的定义得到利用直角和直角构造的关系，即可求出答案

【详解】连接，

设则，

由双曲线的定义可得

在直角中，，即，

化简可得，

在直角中，，即，

将代入上式可得整理可得，所以

、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【解答】解：因为为等边三角形，不妨设，

为双曲线上一点，，

为双曲线上一点，则，，，

由，则，

在△中应用余弦定理得：，

得，则，解得．

已知分别为双曲线的左?右焦点，过左焦点的直线交双曲线左支于两点，且，则该双曲线的离心率.

【答案】

【详解】设，则，因为,

所以，即，由勾股可得

即离心率.

（广东深圳·高二统考期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E的左、右两支分别交于A，B两点，若，则的面积为．

【答案】

【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形即可根据勾股定理求解，由直角三角形的面积公式即可得解.

【详解】如图，

因为，所以．

设，，得，

由，得

所以，则，

由，得，

又，所以，，，

故的面形.

已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的离心率为______________.

【解答】解：设，由双曲线定义得：，，

所以，

作，△中，，可得，

△中，勾股定理得：①，

△中，勾股定理得：，

可得②，

由①②可得，整理可得，即

已知双曲线的左?右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左?右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：过作于点，设，因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，所以，同理可得，所以，即，所以，因此，在直角三角形中，，所以，所以，则.故选：A.

已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】A

【解答】解：，

设，，，则，，

根据双曲线的定义，得，

即，

解得，，

即，，，

△中，

，

在三角形中，

，，

，可得，

因此，该双曲线的离心率．

【题型3】构造齐次化方程

双曲线，的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．2

【解答】解：因为点在双曲线上，且轴，

所以点的横坐标为，代入双曲线的方程可得，

则，，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以（舍去），或

已知双曲线的两条渐近线分别为，点，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O为圆心且过两焦点的圆与交于点P(P在第一象限)，点Q为线段的中点，且，则双曲线的离心率为( )

A． B． C． D．

【答案】B

法一：利用对称性和互余关系导角

【简证】设于H，作PH⊥x轴于H，易知如右图，易知∠PO