2024年二次函数知识点.doc

二次函数知识點

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。這裏需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可认為零．二次函数的定义域是全体实数．

2.二次函数的构造特性：

⑴等号左边是函数，右边是有关自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：的性质：

a的绝對值越大，抛物线的開口越小。

的符号

開口方向

顶點坐標

對称轴

性质

向上

轴

時，随的增大而增大；時，随的增大而減小；時，有最小值．

向下

轴

時，随的增大而減小；時，随的增大而增大；時，有最大值．

2.的性质：

上加下減。

的符号

開口方向

顶點坐標

對称轴

性质

向上

轴

時，随的增大而增大；時，随的增大而減小；時，有最小值．

向下

轴

時，随的增大而減小；時，随的增大而增大；時，有最大值．

3.的性质：

左加右減。

的符号

開口方向

顶點坐標

對称轴

性质

向上

X=h

時，随的增大而增大；時，随的增大而減小；時，有最小值．

向下

X=h

時，随的增大而減小；時，随的增大而增大；時，有最大值．

4.的性质：

的符号

開口方向

顶點坐標

對称轴

性质

向上

X=h

時，随的增大而增大；時，随的增大而減小；時，有最小值．

向下

X=h

時，随的增大而減小；時，随的增大而增大；時，有最大值．

三、二次函数图象的平移

1.平移环节：

措施一：⑴将抛物线解析式转化成顶點式，确定其顶點坐標；

⑵保持抛物线的形状不变，将其顶點平移到处，详细平移措施如下：

2.平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八個字“左加右減，上加下減”．

措施二：

⑴沿轴平移:向上（下）平移個單位，变成

（或）

⑵沿轴平移：向左（右）平移個單位，变成（或）

四、二次函数与的比较

從解析式上看，与是两种不一样的体現形式，後者通過配方可以得到前者，即，其中．

五、二次函数图象的画法

五點绘图法：运用配措施将二次函数化為顶點式，确定其開口方向、對称轴及顶點坐標，然後在對称轴两侧，左右對称地描點画图.一般我們选用的五點為：顶點、与轴的交點、以及有关對称轴對称的點、与轴的交點，（若与轴没有交點，则取两组有关對称轴對称的點）.

画草图時应抓住如下几點：開口方向，對称轴，顶點，与轴的交點，与轴的交點.

六、二次函数的性质

1.當時，抛物线開口向上，對称轴為，顶點坐標為．

當時，随的增大而減小；當時，随的增大而增大；當時，有最小值．

2.當時，抛物线開口向下，對称轴為，顶點坐標為．當時，随的增大而增大；當時，随的增大而減小；當時，有最大值．

七、二次函数解析式的表达措施

1.一般式：（，，為常数，）；

2.顶點式：（，，為常数，）；

3.两根式：（，，是抛物线与轴两交點的横坐標）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶點式，但并非所有的二次函数都可以写成交點式，只有抛物线与轴有交點，即時，抛物线的解析式才可以用交點式表达．二次函数解析式的這三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数

二次函数中，作為二次项系数，显然．

⑴當時，抛物线開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；

⑵當時，抛物线開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．

總結起来，决定了抛物线開口的大小和方向，的正负决定開口方向，的大小决定開口的大小．

2.一次项系数

在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的對称轴．

⑴在的前提下，

當時，，即抛物线的對称轴在轴左侧；

當時，，即抛物线的對称轴就是轴；

當時，，即抛物线對称轴在轴的右侧．

⑵在的前提下，結论刚好与上述相反，即

當時，，即抛物线的對称轴在轴右侧；

當時，，即抛物线的對称轴就是轴；

當時，，即抛物线對称轴在轴的左侧．

總結起来，在确定的前提下，决定了抛物线對称轴的位置．

的符号的鉴定：對称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的說就是“左同右异”

總結：

3.常数项

⑴當時，抛物线与轴的交點在轴上方，即抛物线与轴交點的纵坐標為正；

⑵當時，抛物线与轴的交點為坐標原點，即抛物线与轴交點的纵坐標為；

⑶當時，抛物线与轴的交點在轴下方，即抛物线与轴交點的纵坐標為负．

總結起来，决定了抛物线与轴交點的位置．

總之，只要都确定，那么這条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式确实定：

根据已知条件确定二次函数解析式，一般运用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据題目的特點，选择合适的形式