7.5 空间直线、平面的垂直（教师版）-2025届高三数学一轮复习.docx

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7.5空间直线、平面的垂直

学习目标：从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．

课前自测

1.易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)垂直于同一个平面的两平面平行． ()

(2)若α⊥β，a⊥β?a∥α． ()

(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b． ()

(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． ()

[答案](1)×(2)×(3)√(4)×

2．(人教A版必修第二册P162练习T2改编)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题正确的是()

A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β

B．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β

C．若α⊥β，l?α，则l⊥β

D．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β

解析D

若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l?β或l∥β或l与β相交，A错误；

若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，B错误；

若α⊥β，l?α，则l?β或l∥β或l与β相交，C错误；

若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知D正确．故选D.

3.(2023·石嘴山模拟)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法错误的是()

A．PA⊥平面ABC

B．BC⊥平面PAC

C．AC⊥平面PBC

D．三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形

解析C

因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则PA⊥平面ABC，故A正确；

而BC?平面ABC，

则PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，则有BC⊥平面PAC，故B正确；

由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，

由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正确；

假定AC⊥平面PBC，PC?平面PBC，则AC⊥PC，

即∠PCA＝90°，而在△PAC中∠PAC＝90°，矛盾，

所以AC⊥平面PBC不正确，故C错误．

4.(人教A版必修第二册P152例4改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．

解析13

∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．

因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝22，

又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝AA

二、知识梳理

1．(1)直线和平面垂直的定义

如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直．

(2)判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.

(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

3．二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．

(3)二面角的范围：[0，π]．

4．平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β

性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α

常用结论

1．三垂线定理

平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射