数学学案：课堂探究实数指数幂及其运算.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课堂探究

探究一简单的指数幂运算

1．对于既含有分数指数幂，又含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于计算．如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形式．

2．对于计算题的结果，不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．

【典型例题1】计算:

（1)；（2）；(3）；

（4）(2a＋1）0；（5)。

思路分析：在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时(如(1)(2）（3)），就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便．

在幂的运算中，对于形如m0的式子，要注意对底数m是否为零进行讨论，因为只有在m≠0时，m0才有意义;而对于形如的式子,我们一般是先变形为，然后再进行运算．

解：（1）＝＝＝＝。

(2)＝＝0.2－2＝＝52＝25。

(3)＝＝＝＝.

(4)（2a＋1）0＝

(5)＝

＝＝－。

探究二利用根式的性质化简或求值

1．n次方根的个数及符号的确定

任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数，0的任何次方根都是0.

2．根式化简注意事项

(1）解决根式的化简问题，首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．

（2)注意正确区分与.

【典型例题2】(1)计算下列各式：

①;②；③；④（ab)．

(2)化简下列各式:

①;②；③;④;⑤。

解：（1)①＝5.

②＝－2。

③＝｜－2|＝2。

④∵a〉b，∴＝｜a－b｜＝a－b.

（2）①＝＝＝＝＝.

②＝＝＝。

③＝－＝－＝－。

④＝＝x2。

⑤＝＝＝.

探究三根式与分数指数幂的互化

根式与分数指数幂互化的规律

1．根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子．

2．在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理指数幂的运算性质解题．

3．当所求根式含有多重根号时,应先由里向外用分数指数幂的形式写出,然后进行化简．

【典型例题3】(1）5－化为根式形式为__________；

(2）(b0）化为分数指数幂的形式为__________；

(3)(x≠0）化为分数指数幂的形式为__________．

解析：（1)原式＝＝.

(2)原式＝＝＝.

(3）原式＝＝＝＝＝＝。

答案：(1）(2）(3)

探究四知值求值问题

已知代数式的值求其他代数式的值,通常又简称为“知值求值，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式之间的内在联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换两种方法求值．要注意正确地变形，对平方立方等一些常用公式要熟练应用．

【典型例题4】已知x＋y＝12，xy＝9,且x〈y，求的值．

思路分析：观察已知代数式和所求代数式的特点可知,＝x，＝y。于是联想到用完全平方公式，把公式的分子、分母同乘以分母的有理化因式后，分式的分子就变成了用x＋y，xy表示的代数式．

解:∵x＋y＝12，xy＝9,∴（x－y）2＝(x＋y）2－4xy＝122－4×9＝108.又∵x〈y，∴x－y＝－6.

∴＝＝＝＝－.

探究五易错辨析

易错点忽视运算法则的适用条件而致误

【典型例题5】化简。

错解：原式＝＝＝。

错因分析：有理指数幂的运算法则必须在幂的底数为正时才能应用，否则易出错．

正解：原式＝＝＝＝＝.