重庆市第一中学校2024−2025学年高三上学期10月月考 数学试卷（含解析）.docx

重庆市第一中学校2024?2025学年高三上学期10月月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，，则=（）

A． B．

C． D．

2．复数（是虚数单位），则（）

A． B．

C． D．

3．下列函数是奇函数，且在上单调递增的是（）

A． B．

C． D．

4．日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位；元）为，则净化到纯净度为左右时净化费用的变化率大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的（）

A．10倍 B．25倍

C．50倍 D．100倍

5．已知向量满足：，则的最小值是（）

A．1 B．

C．2 D．3

6．已知数列满足：，，则（）

A． B．3 C．4 D．

7．关于的方程在上有（）个实数根．

A．1 B．2 C．3 D．7

8．已知，则的最小值是（）

A． B．

C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．下列说法正确的有（）

A．若等差数列的前项和为，则也成等差数列

B．数列可能是等比数列，也可能是等差数列

C．若等比数列满足：.则

D．若等差数列的前项和为，则的最大值是

10．已知函数，下列说法正确的是（）

A．当时，在区间内有唯一零点

B．当时，在点处的切线斜率为

C．当时，若，则

D．当时，总是的极值点

11．已知函数在上有且仅有个零点，则（）

A．的图象向左平移必须超过个单位才可能使其关于轴对称

B．在区间上有可能单调递增

C．在上有3条对称轴

D．

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知点，点，向量，若，则实数的值是．

13．在中内角所对的边分别为，且，，，则．

14．在分形艺术中会有下面的操作：将一长度为1的线段均分为三段，去掉中间一段，记为第1次操作：将剩下的线段分别又均分为三段，并各自去掉中间一段，记为第2次操作；……，每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的线段分别均分为三段，同样各自去掉中间的一段；操作过程不断进行下去．设第次操作去掉的线段总长为，若，则数列中取值最大的项为第项．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知数列满足：，，数列的前项和为，且．

(1)求数列，的通项公式；

(2)记，数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围．

16．连续抛掷一枚质地均匀的骰子次.第次抛掷落地时朝上的点数记为，且，

(1)记事件为“”，事件为“”，求；

(2)若，记事件为“”，求．

17．如图，在平面四边形中，，若是上一点，．

(1)证明：；

(2)若．

①求的值；

②求的最大值．

18．已知为坐标原点，双曲线的焦距是实轴长的倍，过上一点作的两条渐近线的平行线，分别交轴于两点，且．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过双曲线的右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值．

19．已知函数.

(1)证明：当时，；

(2)若恒成立，求实数的值；

(3)证明：.

参考答案

1．【答案】A

【详解】，

∴

故选：A

2．【答案】B

【详解】由，所以，

所以，故B正确.

故选：B.

3．【答案】A

【详解】，奇函数且在0,+∞上单调递增，正确；

，当时，无意义，错误；

，，，

显然，即不是奇函数，错误；

，当时，无意义，错误；

故选：A

4．【答案】D

【详解】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为，

所以，，

所以，

所以净化到纯净度为左右时净化费用的变化率大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的倍.

故选：D

5．【答案】A

【详解】因为，，所以，

所以在上的投影大小为，

所以当与同向共线时有最小值，

.

故选：A.

6．【答案】C

【详解】由，

所以（，）

所以，，…，，

各式相加得：.

故选：C

7．【答案】D

【详解】时，，原方程化为，

令，，

则原方程的解的个数即为函数与的图象在上的交点个数，

时，，因此在上是单调增函数，

又，的最小正周期是，区间的长度超过的3个周期的长度而小于4个周期，

作出函数和的大致图象，如图，

，，，

由图可知它们在区间上有7个交点，也即原方程在上有7个解，

故选：D．

8．【答案】D

【详解】因为，

所以

所以，

所以，所以，

当时，，等式变为，显然不成立，

所以，所以，

所以

因为，所以，

所以，

因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以，所以.

所以的最小值为.

故选：D.

9．【答案】BCD

【详解】对于A选项，设等差数列的首项为，公差为

，

，

，

，，

当时，，不成等差数列，A选项错误；

对于B选项，当时，数列为常数列，是等差数列，

当且时，数列是等比数