北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题.docx

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题

2024.10.28

一、单选题

1.在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（）

A.3 B.-3 C.1 D.-1

2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（）

А. B.

C. D.

3.已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）.

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

4.已知向量，单位向量满足，则的夹角为（）

А. B. C. D.

5.已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且，则“”是“”的（）

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.在下列条件中，能使与A，B，C一定共面的是（）

A. B.

C. D.

7.在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且知，过的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（）

A.2:1 B.4:3 C.3:2 D.1:1

8.在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

9.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点在线段AP上，AC与BD交于点，若平面EFC，则（）

A. B. C. D.1

10.如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面正方形ABCD内移动（包含边界），且满足，则线段长度的最大值为（）

A. B. C. D.

二、填空题

11.在空间直角坐标系中，点关于xOy平面的对称点的坐标为_______________.

12.如图：矩形的长为4cm，宽为是的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为______________cm.

13.已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______________.

14.已知圆锥POP为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形，A，B，为底面圆周上三点，若空间一动点满足，则的最小值为_____________.

15.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）.若它的所有棱长都为，则以下结论正确的是____________.（填序号）

①平面EAB;

②该二十四等边体的体积为；

③该二十四等边体外接球的表面积为；

④PN与平面EBFN所成角的正弦值为.

三、解答题

16.如图，AB是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周AB上靠近点的三等分点，点在线段PA上.

（1）求圆柱的表面积与体积;

（2）求三棱锥P-ABC的体积;

（3）若D是PB的中点，求的最小值.

17.如图，正方体的棱长为2，E为BC的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①:;条件②:；条件③:平面.

（1）求证:为的中点;

（2）求直线EM与平面MCD所成角的大小;

（3）求点E到平面MCD的距离.

18.如图，在四棱锥中，平面ABC，且为的外心，.

（1）求证:平面PBO;

（2）若点M在线段PC（不含端点）上运动，设平面平面，当直线与平面ABM所成的角最大时，求二面角的正弦值.

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题参考答案

2024.10.28

一、单选题

1.答案:B

解析:因为，所以，解得.故选B.

2.答案:D

解析：因为，所以，即，满足条件的只有选项D，故选D.

3.答案:D

解析:A:，则或，错误;

B:，则或，错误;

，则相交或平行，错误；

D:，则，又，故，正确.故选D.

4.答案:C

解析:因为，所以.又，所以，即，所以，则.所以.又，所以.故选C.

5.解：推不出也推不出，所以是的既不充分也不必要条件.

6.答案:C

解析：对于A选项，由于，所以不能得出M，A，B，C共面.

对于B选项，由于，所以不能得出M，A，B，C共面.

对于C选项，由于，则为共面向量，所以M，A，B，共面.

对于D选项，由得，而，所以不能得出M，A，B，C共面.故选C.

7.解:设三棱柱的体积为

侧棱和上各有一动点满足，

四边形与四边形的面积相等.

故四棱锥的体积等于三棱锥的体积等于.

则四棱锥的体积等于.

故过三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为2:1

8.解:连接DE，设正四面体ABCD的棱长为2，