福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期第一学段期中考试数学.docx

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福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期第一学段期中考试数学试卷

（完卷120分钟满分150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数满足（为虚数单位），则（????）

A． B． C． D．

2．若，且，则的最小值为（????）

A．20 B．12 C．16 D．25

3．已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（????）

A．12 B．4 C．8 D．

5．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是

A． B． C． D．

7．已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（????）

A． B．

C． D．

8．函数在上的零点个数为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．有一组从小到大排列的样本数据，若将第1个数据减1，最后一个数据加2，其余数据不变，得到新的一组数据，则下列统计量中，相比原来的数据变大的有（????）

A．极差 B．中位数 C．平均数 D．方差

10．已知三次函数，下列结论正确的是（????）

A．当时，单调递减区间为

B．当时，单调递增区间为

C．当时，若函数恰有两个不同的零点，则

D．当时，恒成立，则a的取值范围为

11．数列满足：，下述命题正确的有（????）

A．数列的通项公式可以是

B．数列是递增数列

C．若（其中），则

D．存在常数，使得都成立

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知向量，则在上的投影向量的坐标为.

13．已知是数列的前项和，，且对于任意，有，则.

14．存在集合的一族子集两两交集非空，那么这族子集最多有个.

四、解答题：本大题共5小题．共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积．

16．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.

17．在中，为BC的中点，且.

(1)证明：；

(2)若，求的取值范围．

18．已知函数．

(1)求在处的切线的方程；

(2)讨论的根的个数；

(3)设是的两根，证明：．

19．已知数列，从中选取第项、第项、...、第项，称新数列为A的长度为的子列．记为A所有不同子列的个数，例如对于A：1，0，0，长度为2的子列有1，0和0，0，长度为3的子列有1，0，0，所以．

(1)对于数列A：2，0，2，4，写出A的长度为3的全部子列，并求；

(2)对于数列，判断，的大小关系，并说明理由；

(3)对于整数且，数列满足和，求的最小值.

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1．A

【分析】由已知化简复数，利用模长公式求解即可．

【详解】法一：由，得，所以，所以．

故选：A

法二：由题知，所以．

故选：A

2．D

【分析】利用，结合基本不等式可求和的最小值.

【详解】因为，所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为.

故选：D.

3．B

【分析】根据面面垂直的性质与线面垂直的性质，结合充分、必要条件的定义即可求解.

【详解】由题意知，，

若，当时，有；当时，与可能相交、平行、垂直.

若，由，得.

故“”是“”是必要不充分条件.

故选：B

4．C

【分析】求出圆心到直线的距离，再由求出弦长，进一步可得，再利用三角形的面积公式即可得出答案.

【详解】圆心到直线的距离为，

，由，

则，由三角形的面积公式可得，

故选：C.

5．B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，

则需满足，解得，

即a的范围是.

故选：