河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期期中综合素质评价数学.docx

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2024-2025学年度高三年级上学期期中综合素质评价

数学学科

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若复数满足，则（????）

A． B． C．5 D．10

2．设全集，集合，则（????）

A． B． C． D．

3．用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上?下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积是（????）

A． B． C． D．

4．已知等差数列的前项和为，若，且，则（???）

A．60 B．72 C．120 D．144

5．已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出的是（????）

A．，，且，

B．，，且

C．，，且

D．，，且

6．函数，若，则实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

7．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数y=f′x的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（???

A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1

C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1

8．如图，在棱长为5的正方体中，是侧面上的一个动点，点为线段上，且则以下命题正确的是（???）（动点的轨迹：指动点运动所形成的图形）

??

A．沿正方体的表面从点到点的最短距离是

B．保持与垂直时，点的轨迹长度为

C．若保持，则的轨迹长度为

D．平面被正方体截得截面为直角梯形

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．以下是真命题的是（????）

A．已知，为非零向量，若，则与的夹角为锐角

B．已知，，为两两非共线向量，若，则

C．在三角形中，若，则三角形是等腰三角形

D．若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心

10．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（????）

A．的图象关于对称

B．

C．

D．

11．已知中，，，E，F分别在线段BA，CA上，且，．现将沿EF折起，使二面角的大小为．以下命题正确的是（???）

A．若，，则点到平面的距离为

B．存在使得四棱锥有外接球

C．若，则棱锥体积的最大值为

D．若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时，

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为．

??

13．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，.若，则的值为.

14．曲线在，两点处的切线分别为，，且，则；若，交点的横坐标为，则．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.

15．已知的面积为，为边的中点，，．

(1)求的长；

(2)求角的正弦值．

16．如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成的角的正弦值.

17．已知数列和bn满足，，，，

(1)求与；

(2)记数列的前项和为，且，若对，恒成立，求的取值范围.

18．如图，四棱锥的底面为正方形，E，F分别为，的中点，且平面平面.

(1)证明：；

(2)若，当四棱锥的体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值.

19．设是定义域为D且图象连续不断的函数，若存在区间和，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“山峰函数”，为“峰点”，称为的一个“峰值区间”．

(1)判断是否是山峰函数？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说明理由；

(2)已知，是山峰函数，且是它的一个峰值区间，求m的取值范围；

(3)设，函数．设函数是山峰函数，是它的一个峰值区间，并记的最大值为．若，且，，求的最小值．（参考数据：）

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1．B

【分析】利用复数除法化简，然后由复数模公式可得.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：B

2．C

【分析】由题意可得，根据并集的定义求得，再根据补集的定义求解即可.

【详解】解：，

又，

.

故选:C.

3．B

【分析】根据正四棱台性质可求得该棱台的高，代入棱台的体积公式即可求得结果.

【详解】如下图所示：分别为上下底面的中心，作于点，

根据题意可知，侧棱与底面所成的角即为，可知；

因此