福建省厦门第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题.docx

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福建省厦门第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

2．若椭圆的焦点在轴上，其离心率为，则椭圆的短轴长为（????）

A． B． C． D．

3．若，，三点共线，则（????）

A．4 B． C．1 D．0

4．如图，在直三棱柱中，△ABC为等腰直角三角形，且则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

5．若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（????）

A． B．

C． D．

6．若圆与圆恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（????）

A． B． C． D．

7．已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为4和，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．2

8．PA，PB，PC是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为PA=PB=PC=3，若M满足则点M到平面PAB的距离为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知曲线，，则（????）

A．的长轴长为4 B．的渐近线方程为

C．与的焦点坐标相同 D．与的离心率互为倒数

10．如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（????）

A． B．

C． D．

11．一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（????）

A．存在直线，使得以AB为直径的圆与相切

B．的最小值为

C．的最大值为

D．的最小值为

三、填空题

12．已知平面α的一个法向量为直线l的一个方向向量为则直线l与平面α所成角的正弦值为．

13．圆与圆的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为．

14．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为．

四、解答题

15．已知直线：，：，其中为实数.

(1)当时，求直线，之间的距离；

(2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.

16．已知圆过点，且圆心在直线上.

(1)求圆的方程；

(2)若从点发出的光线经过轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程.

17．如图，四棱锥中，平面，，是的中点．

(1)证明：平面；

(2)若二面角的余弦值是，求的值；

(3)若，在线段AD上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．

18．已知椭圆E的左、右焦点分别为，，点M在椭圆E上，，的周长为，面积为．

(1)求椭圆E的方程．

(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与椭圆E交于C，D两点（不同于左右顶点），记直线AC的斜率为，直线BD的斜率为，问是否存在实常数，使得，恒成立？若成立，求出的值，若不成立，说明理由．

19．双曲线C：的左、右焦点为右顶点为A．⊙M的圆心在x轴上，位于A的右侧，与双曲线C有且仅有一个公共点，

??

??

(1)求⊙M的最大半径为多少，及此时⊙M的方程；

(2)如图1，在（1）的条件下，过双曲线C上一点P作⊙M的切线，切点为Q，过P且垂直于x轴的直线与双曲线其中一条渐近线交于R，求的最小值：

(3)双曲线右支上一点N在右焦点的正上方，如图2，将双曲线的左支绕y轴翻折．使左右支所在的两个半平面所成的二面角大小为θ，若过N的直线m总与左支相交，以原双曲线所在坐标平面的O为原点，过O垂直于xOy平面方向为z轴建立空间直角坐标系，求直线m的一个方向向量．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

A

B

B

A

A

D

BD

BD

题号

11

答案

BCD

1．B

【分析】根据已知先求出直线的斜率，进而可求直线的倾斜角．

【详解】因为直线的一个方向向量为，

所以直线的斜率，

故直线的倾斜角为．

故选：B．

2．B

【分析】根据椭圆的离心率求出，即可求得该椭圆的短轴长.

【详解】对于椭圆，由已知可得，，则，

椭圆的离心率为，解得，则，

因此，椭圆的短轴长为.

故选：B.

3．A

【分析】根