广西柳州高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷.docx

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广西柳州高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合则（????）

A． B．

C．或 D．

2．已知为虚数单位，的虚部为（????）

A． B． C． D．1

3．已知函数，且，则（???）

A．1 B．2 C．3 D．6

4．已知数列对于任意，都有若则（????）

A．2 B． C．4 D．

5．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（）

A． B． C． D．

6．已知为等差数列的前项和，若，则（???）

A．39 B．52 C．65 D．78

7．在平面直角坐标系中，点为圆上一动点，点到直线的距离记为，当变化时，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

8．点为椭圆的左、右焦点，过准线与轴的交点作直线交椭圆于两点.若四边形为梯形，且对角线满足则离心率为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知函数，则下列结论正确的是（????）

A．是周期为π的奇函数 B．的图象关于点对称

C．在上单调递增 D．的值域是

10．等差数列中，，则下列命题正确的是（???）

A．若，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，则

11．对于，表示不超过的最大整数，如，记，从而有，以下是真命题的有（????）

A．

B．，若，则

C．不等式的解集为

D．设，则对有

三、填空题

12．已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是．

13．椭圆的上下顶点记为，，在轴上取一点，记直线交椭圆的另外一点为点，若直线，的斜率，，有则离心率的值是.

14．为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这个数据的方差为，平均数为的最小值（其中，）且这个数互不相同，则其最大值为，数据的极差为.

四、解答题

15．世界杯足球赛备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组:第组，第组，第组40,50，第组50,60，第组，得到频率分布直方图如图所示.

(1)估计样本数据的上四分位数（也称第三四分位数，第百分位数）

(2)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在组的概率.

16．在数列中，数列满足

(1)证明数列是等差数列并求出通项公式.

(2)数列的前n项和为，问是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.

17．在中角A，B，C分别对应边长记为a，b，c，，，取，，已知.

(1)求.

(2)在边上取一点D，使为锐角且有与的外接圆半径之比为，设点E为的内心，求的面积.

18．如图，和所在平面垂直，且求：

(1)；

(2)直线与平面所成角的大小；

(3)平面和平面的夹角的余弦值.

19．双曲线E的实轴两端点记为，以右焦点F为圆心，半径为的圆与渐近线相切.

(1)求双曲线E的方程.

(2)过点F任意作直线交曲线E于同支两点记为A，B.点O为坐标原点，求面积的最小值.

(3)过点F作直线交曲线E于异支两点记为C，D.设直线分别与直线，x轴相交于点M，T.问：在实轴上是否存在定点T使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

C

C

C

B

B

B

B

CD

ABD

题号

11

答案

BCD

1．D

【分析】根据对数不等式以及一元二次不等式求集合，进而可求交集.

【详解】由可得，解得，可得；

由，解得或，可得或；

所以.

故选：D.

2．C

【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简，即可判断其虚部.

【详解】因为，

所以的虚部为.

故选：C

3．C

【分析】根据分段函数解析式分段讨论得到方程（不等式）组，解得即可.

【详解】因为，且，

则或，解得.

故选：C

4．C

【分析】根据给定条件，利用赋值法计算即得.

【详解】由数列对于任意，都有，

取，则，

取，则，则.

故选：C