《 结构动力学》第7章多自由度体系动力反应 .pptx

结构动力学

;结构动力学

第七章

多自由度体系动力反应;第七章多自由度体系动力反应

7.1多自由度体系的自振振型和自振频率

7.2振型的正交性

7.3位移的振型展开和振型（正规）坐标

7.4无阻尼体系的振型叠加法—振型位移法

7.5有阻尼体系的振型叠加法

7.6结构中的阻尼和阻尼矩阵的构造

7.7静力修正方法（StaticCorrectionProcedure）

7.8振型加速度法（ModeAccelerationMethod）;7.1多自由度体系的自振振型和自振频率

在多自由度体系动力反应分析中，最常用的是振型叠加法。所谓振型就是结构体系在无外荷载作用时的自由振动时的位移形态，N个自由度体系有N个不同的振型。

当结构按某一振型振动时，自振频率是与之相对应的常量。因此对N个自由度体系，一般情况下有个N个自振频率。

多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性，和单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。因此在讲到结构动力特性时，首先想到的就是结构的自振振型和频率。;7.1多自由度体系的自振振型和自振频率

结构的自振振型和频率，可通过分析结构的无阻尼自由振动方程获得。

多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：

其中[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵，{u}和{ü}是N阶位移和加速度（或广义坐标）向量，{0}是N阶零向量。

上式是体系作自由振动时必须满足的控制方程，下面分析当位移向量{u}是什么形式时可以满足此式要求。;7.1多自由度体系的自振振型和自振频率

根据单自由度体系自由振动的经验，设多自由度体系在进行自由振动时也是在作简谐振动，多自由度体系的振动形式可写为：

{φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关，

不随时间变化，称为振型。

ω—简谐振动的频率，

θ—相位角。

上式对时间求两次导数可得

;7.1多自由度体系的自振振型和自振频率

将位移向量{u}和加速度向量{ü}代入无阻尼自由振动方程：

因为sin(ωt+θ)为任意的，可以消去，因此，

上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振频率的关系，称为运动方程的特征方程。

由特征方程可解得ω和{φ}。;7.1多自由度体系的自???振型和自振频率

特征方程存在非零解的充分必要条件是系数行列式等于零：

是一关于ω的多项式，称为频率方程。

将刚度阵和质量阵代入得频率方程的具体形式：

;7.1多自由度体系的自振振型和自振频率

对于稳定结构体系，其质量阵与刚度阵具有实对称性和正定性，所以相应的频率方程的根都是正实根。对于N个自由度的体系，频率方程是关于ω2的N次方程，

由此可以解得N个根（ω12ω22ω32…ωN2）。

ωn(n=1,2,…,N)即为体系的自振频率。其中量值最小的频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)

从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。;7.1多自由度体系的自振振型和自振频率

把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型

{φ}n={φ1n,φ2n,…,φNn}T—体系的n阶振型。

由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n=1，才能确定其余的值。

实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样，但其比例关系是不变的。

所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。;7.1多自由度体系的自振振型和自振频率

在结构动力分析中，有时需要按某一标准将振型归一化，或称标准化，给出标准振型或归一化振型，通常有三种方法：

(1)特定坐标的归一化方法。指定振型向量中的某一坐标值为1，其它元素值按比例确定。

(2)最大位移值的归一化方法，将振型向量中各元素除以最大值。

(3)正交归一化。

以后讲到振型正交性时可以发现按(3)定义的振型满足关于质量矩阵[M]的内积为1的条件。;7.1多自由度体系的自振振型和自振频率

以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应于特征值，而振型即是特征向量。

得到体系的N个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率分别写成矩阵的形式，

其中，ωn—n阶自振频率，{φ}n—n阶振型。

[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。;7.1多自由度体系的自振振型和自振频率

算例7.1如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层间刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。

(Clough书中的例题,