8.4 因式分解【九大题型】（举一反三）（沪科版）（学生版）.docx

专题8.4因式分解【九大题型】

【沪科版】

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【题型1利用因式分解求值】 1

【题型2因式分解在有理数简算中的应用】 2

【题型3利用因式分解确定整除问题】 2

【题型4利用添项进行因式分解】 3

【题型5利用拆项进行因式分解】 5

【题型6利用因式分解确定三角形的形状】 6

【题型7利用因式分解求最值】 6

【题型8因式分解在新定义问题中的运用】 6

【题型9因式分解在阅读理解中的运用】 8

【知识点因式分解】

定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。

③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)

因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

【题型1利用因式分解求值】

【例1】（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）将2xn-81因式分解后得4x2+92x+32x-3，那么n等于（????）

A．2 B．4 C．6 D．8

【变式1-1】（2023春·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考期中）把多项式x3+ax分解因式得xx-12

【变式1-2】（2023春·七年级单元测试）已知三次四项式2x3-5x2

【变式1-3】（2023春·七年级单元测试）若2x2-6y

【题型2因式分解在有理数简算中的应用】

【例2】（2023春·七年级课时练习）利用因式分解计算：

(1)-2101

(2)32021

(3)121×0.13+12.1×0.9-12×1.21；

(4)2022

【变式2-1】（2023春·全国·七年级专题练习）计算：2020×512－2020×492的结果是．

【变式2-2】（2023春·七年级单元测试）计算：（1）(1-122)×(1-132

（2）2021

【变式2-3】（2023春·七年级单元测试）利用因式分解计算：

（1）1

（2）1+24

（3）2

【题型3利用因式分解确定整除问题】

【例3】（2023春·全国·七年级专题练习）某兴趣小组为探究被3整除的数的规律，提出了以下问题：

（1）在312，465，522，458中不能被3整除的数是________；

（2）一个三位数abc表示百位、十位、个位上的数字分别是a、b、c（a，b，c为0－9之间的整数，且a≠0），那么abc=100a+10b+c．若a+b+c是3的倍数（设a+b+c=3t，t为正整数），那么abc能被3

（3）若一个能被3整除的两位正整数ab（a，b为1－9之间的整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到一个新数，新数减去原数等于54，求这个正整数ab．

【变式3-1】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）利用因式分解说明：当n为自然数时，n+72-n-5

【变式3-2】（2023春·湖南永州·七年级校联考期中）已知432-1可以被10到

A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17

【变式3-3】（2023·河北衡水·统考三模）某数学兴趣小组研究如下等式：

38×32=1216，

53×57=3021，

71×79=5609，

84×86=7224．

观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一定的规律”．

(1)根据上述的运算规律，直接写出结果：58×52=___________；752=

(2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a，b0），

①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；

②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：38×32调换为83×23）．若分别记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，求证：m-n能被99整除．

【题型4利用添项进行因式分解】

【例4】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式x4+4的方