2023-2024学年八年级数学下册 专题06 几何最值四大模型（原卷版）.pdfVIP

专题06几何最值四大模型

模型一：轴对称最值模型模型二：直角之最值模型

模型三：费马点最值模型模型四：面积法求定值

模型一：将军饮马问题

1.

已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；

要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小

解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,

PA+PB的最小值即为线段AB的长度

理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，

在△ABP’中，AP´+BP´AB，即AP´+BP´AP+BP

∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

2.

已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧

要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小

（或△ABP的周长最小）

解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，

点P即为所求；

理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，

由中垂线的性质得：PAPA´，要使PA+PB最小，则

需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.

模型二：费马点

【费马点问题】

问题：如图，如何找点使它到△三个顶点的距离之和最小？

1PABCPA+PB+PC

图文解析：

如图，把△绕点顺时针旋转得到△，连接．则△为等边三角形，

1APCC60°A′P′CPP′CPP′

，，

CPPP′PAP′A′

∴PA+PB+PCP′A′+PB+PP′BC′．

∵点可看成是线段绕点顺时针旋转而得的定点，为定长

A′CAC60°BA′

∴当、、、四点在同一直线上时，最小．最小值为

BPP′A′PA+PB+PCBA.′

【如图和图，利用旋转、等边等条件转化相等线段】

12.

∴∠∠∠，

APCA′P′C180°-CP′P180°-60°120°

∠∠，

BPC180°-P′PC180°-60°120°

∠∠∠

APC360°-BPC-APC360°-120°-120°120°.

因此，当△的每一个内角都小于时，所求的点对三角形每边的张角都是；

ABC120°