山西省忻州市重点中学2024年高三开学复习质量检测试题数学试题.docVIP

山西省忻州市重点中学2024年高三开学复习质量检测试题数学试题

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（）

A．4π B．8π C． D．

2．如图，在中，，且，则（）

A．1 B． C． D．

3．已知向量，则（）

A．∥ B．⊥ C．∥() D．⊥()

4．函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（）

A． B．

C． D．

5．若直线与圆相交所得弦长为，则（）

A．1 B．2 C． D．3

6．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）

A． B．

C． D．

7．函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是（）

A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）

C．（1，2） D．（﹣∞，1）

8．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为等差数列的公差，且，若，则的最小值为（）

A．8 B．9 C．10 D．11

9．设是虚数单位，，，则（）

A． B． C．1 D．2

10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第天长高尺，芜草第天长高尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）

（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：，）

A． B． C． D．

11．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）

A． B． C． D．2

12．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（）

A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系中，双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线于点P，Q.若为直角三角形，则该双曲线的离心率是______.

14．如图所示，边长为1的正三角形中，点，分别在线段，上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值为_______．

15．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，,则异面直线与所成的角为____.

16．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为_______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若射线与曲线C交于点A（不同于极点O），与直线l交于点B，求的最大值.

18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??4sin?.

（1）求曲线C的普通方程；

（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.

19．（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数，使得，证明：.

20．（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，其中近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.

（1）请利用正态分布的知识求；

（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：

①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：