定积分计算技巧.docVIP

定积分得几何意义

例1、=_________.

解法1由定积分得几何意义知,等于上半圆周

与轴所围成得图形得面积.故=.

2、利用积分不等式

例1、求,为自然数.

解法利用积分不等式

因为

,

而,所以

.

例2、求.

解法因为,故有

.

于就是可得

.

又由于

.

因此

=.

3、利用被积函数得奇偶性求定积分.

例1、计算.

分析由于积分区间关于原点对称,因此首先应考虑被积函数得奇偶性.

解=.由于就是偶函数,而就是奇函数,有,于就是

===

由定积分得几何意义可知,故

.

例2、计算、

解?虽然在上即不就是奇函数,也不就是偶函数,更不能直接求出原函数,但我们可以利用得

原式

、

4、设f(x)为周期函数且连续,周期为T,则、

事实上

由于于就是

例1、设表示距离x最近整数得距离,计算

解??由且为周期函数,周期为1,于就是

5、利用积分中值定理

求,为自然数.

解法利用积分中值定理

设,显然在上连续,由积分中值定理得

,,

当时,,而,故

.

例2、求.

解法由积分中值定理可知

=,.

又

且,

故

.

6、利用适当变量变换求定积分

例1、设f(x)在[0,1]上连续,计算

解?设于就是

得

例2、设函数f(x)在内满足且,计算

解法一?

????????????????

解法二当时,于就是

例46?设

解原式

7、利用定积分公式

公式1:设f(x)在[0,1]上连续,则

事实上

???

移项两边同除以2得、

公式2:

记

??

??

于就是

由于递推公式每次降2次,要讨论n为奇偶数得情形,由

公式3:

证?

由,知得周期为,当然也就是它得周期,利周期函数定积分得性质,有而

由于2n就是偶数,故

公式4

、证

例54?证明、

证?

公式5设f(x)在[0,1]上连续,则、

证由就是为周期得函数,当然也就是以为周期得函数,知也就是以为周期得函数,于就是

?

公式6

证

公式7、

证

例1、计算、

解?利用方法(7)得

原式