2024-2025学年上海市五校（奉贤中学复兴高中金山中学行知中学松江二中）高三上学期期中联考数学试题含详解.docx

五校联考高三期中数学试卷

（奉贤中学/复兴高中/金山中学/行知中学/松江二中）

2024.11

一.填空题（第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分）

1．已知集合,,则

2．已知向量,,则在方向上投影的数量为

3．曲线在点A（0,1）处的切线方程为

4．某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据,分别为120,96,153,146,112,136,则这组数据的分位数为

5．二项式的展开式中,常数项为

6．关于x的方程的解集为

7．已知,,,则的最小值为

8．《九章算术》卷第五《商功》中,有“假令刍童,上广一尺,袤二尺,下广三尺,袤四尺,高一尺”,意思是：“假设一个刍童,上底面宽1尺,长2尺：下底面宽3尺,长4尺,高1尺（如图,刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形,两底面的中心连线与底面垂直的几何体）”.若该几何体所有顶点在一球体的表面上,则该球体的表面积为.

9．意大利著名画家,自然科学家,工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时,曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状,这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究,得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为,并且双曲正弦函数为奇函数,若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位,再向上平移2个单位,得到函数的图象,并且数列满足条件,则数列的前2024项和

10．已知椭圆,点和分别是椭圆的左,右焦点,点P是椭圆上一点,则内切圆半径的最大值为

11．在中,,,分别是角,,的对边,若,则的值为.

12．已知关于的方程在上有两个不相等的实很,则实数的取值范围是.

二.选择题（本大题共4题,满分20分）

13．设,则是的（???）条件

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要

14．在中,,为中点,,则（???）

A． B． C． D．

15．已知定义在R上的函数,其导数为,记,且,,则下列说法中正确的个数为（???）

①,②的图象关于对称,③,④.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

16．已知正项数列满足,下列说法正确的是（???）

A．当时,数列单调递减

B．当时,数列单调递增

C．当时,存在正整数,当时,

D．当时,存在正整数,当时,

三.解答题（本大题共有5题,满分76分）

17．某市数学竞赛初赛结束后,为了解竞赛成绩情况,从所有学生中随机抽取名学生,得到他们的成绩,将数据分成五组：,,,,,并绘制成如图所示的频率分布直方图：

(1)若只有前的学生能进决赛,则入围分数应设为多少分？

(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为的样本,再从该样本中随机抽取名学生进行问卷调查,设为其中达到分及以上的学生的人数,求的概率分布及数学期望.

18．已知函数y=fx是定义在?1,1上的奇函数,并且当时,.

(1)求函数y=fx的表达式

(2)求关于x的不等式的解集.

19．如图,在三棱锥中,平面平面,,,,分别是,的中点,记平面与平面的交线为直线.

(1)求证：直线平面.

(2)若直线上存在一点（与都在的同侧）,且直线与直线所成的角为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

20．已知点G是圆T:上一动点（T为圆心）,点H的坐标为,线段的垂直平分线交线段于点R,动点R的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程.

(2)M,N是曲线C上的两个动点,O是坐标原点,直线,的斜率分别为和,且,则的面积是否为定值？若是,求出这个定值,若不是,请说明理由.

(3)设P为曲线C上任意一点,延长至Q,使,点Q的轨迹为曲线E,过点P的直线l交曲线E于A,B两点,求面积的最大值.

21．已知函数的表达式为.

(1)当时,求的单调增区间.

(2)若当时,恒成立,求a的取值范围.

(3)证明：.

1．

【分析】根据一元二次不等式求解集合元素,结合交集

【详解】由,则.

故答案为：.

2．55##

【分析】根据投影的定义及计算公式直接可得解.

【详解】由已知,.

则

则在方向上投影的数量为.

故答案为：.

3．

【详解】解：由题意得y′=ex.

∴在点A（0,1）处的切线的斜率k=e0=1.

∴所求的切线方程为y﹣1=x,即x﹣y+1=0.

4．120

【分析】先将6个数据从小到大进行排列,再根据百分位数的定义和求解步骤即可求解.

【详解】6位老年人的收缩压数据从小到大排列为：96,112,120,136,146,153.

因为,所以这组数据的分位数为120.

故答案为：120.

5．

【分析】先求出二项式的通项公式,令x的指数为0即可求解.

【详解】由题得二项式通项公式