第十八章 正比例函数和反比例函数 知识归纳与题型突破（16类题型清单）（解析版）-A4.docxVIP

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正比例函数和反比例函数知识归纳与题型突破

（16类题型清单）

01思维导图

01思维导图

02知识速记

02知识速记

知识点1.变量与函数

（1）变量和常量的定义：

在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．

（2）方法：

①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；

②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；

③不要认为字母就是变量，例如π是常量．

（3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．

说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．

知识点2.函数的定义域与函数值

1．函数自变量的取值范围（定义域）

自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．

①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．

②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．

③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．

④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．

2．函数值

函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．

注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；

②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．

知识点3.正比例函数

（1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数.

（2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式.

知识点4.正比例函数的图像

1.一般地，正比例函数(是常数,)的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线；

2.图像画法：列表、描点、连线．

知识点5.正比例函数的性质

当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大．

（2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小．

知识点6.反比例函数

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数

学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数．

2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中称也叫做比例系数．

3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．

知识点7.反比例函数的图像和性质

1、反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支．

2、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小．

3、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大．

4、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交．

知识点8.用待定系数法求反比例函数解析式

将点坐标代入反比例函数的解析式即可求到反比例函数的解析式；

03

03题型归纳

题型一常量与变量

1．小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化．则下列判断正确的是（????）

A．金额是自变量 B．单价是自变量

C．和31是常量 D．数量是自变量

【答案】D

【分析】本题主要考查了函数的概念，根据在一个变化的过程中，变化的量叫做变量，固定不变的量叫做常量，因变量随着自变量的变化而变化，进行判断即可．

【详解】解：∵金额随着数量的变化而变化且单价保持不变，

∴自变量是数量，因变量是金额，单价是常量，

∴四个选项中只有D选项说法正确，符合题意，

故选：D．

2．在三角形面积公式S＝ah，a＝2中，下列说法正确的是()

A．S，a是变量，，h是常量

B．S，h是变量，是常量

C．S，h是变量，，a是常量

D．S，h，a是变量，是常量

【答案】C

【分析】根据常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量求解即可.

【详解】在三角形面积公式S＝ah，a＝2中，S，h是变量，，a是常量.

故选C.

【点睛】本