构造全等三角形的方法-.docVIP

构造全等三角形得方法

在证明两个三角形全等时，选择三角形全等得五种方法(“ＳＳS”，“SAS,“ASＡ”，“ＡＡS，“HL”）中,至少有一组相等得边，因此在应用时要养成先找边得习惯。如果选择找到了一组对应边,再找第二组条件,若找到第二组条件就是对应边,则再找这两边得夹角用“SAS或再找第三组对应边用“SＳS”；若找到第二组条件就是角,则需找另一组角（可能用“ＡＳA”或“ＡAS”)或夹这个角得另一组对应边用“ＳＡS”；若就是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。搞清了全等三角形得证题思路后,还要注意一些较难得一些证明问题,只要构造合适得全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换，就可以化难为易了。

一、利用三角形得角平分线来构造全等三角形

（可以利用角平分线所在直线作对称轴,翻折三角形来构造全等三角形。）

１、如图，在△AＢC中,AＤ平分∠BAC。画一画.

法一：在AB上截取AE=AC，连结DＥ。

法二：延长ＡC到F，使AF=AB，连结ＤF。

法三：作DM⊥ＡB于Ｍ，DN⊥AC于N.

２、如图，ＤC∥AB，∠BＡD与∠ADC得平分线相交于E，过Ｅ得直线

分别交DC、AB于C、B两点、求证：ＡD＝AB＋DC、

证明：在线段ＡD上取ＡF=AＢ,连接EF，

∵AE就是∠BＡD得角平分线，∴∠1＝∠２,

∵ＡF＝AＢ?AE=AE,∴△ＡBE≌△AＦE，∴∠B=∠AFＥ?由ＣＤ∥ＡB又可得∠C+∠B=180°，∴∠AFE＋∠C＝180°,?又∵∠DFE＋∠AFＥ=180°，∴∠C＝∠DFＥ，

∵DＥ就是∠ADC得平分线，∴∠3=∠４，

又∵ＤE=DＥ,∴△ＣＤE≌△ＦＤE，∴DF＝ＤC，

∵AD＝DF+AF，∴AD=AＢ＋ＤC.

３、已知:如图,在四边形AＢCD中，BD就是∠ＡＢＣ得角平分线，AＤ=CD、

求证：∠A+∠C=1８0°

法一:证明:在BＣ上截取ＢE,使BＥ=AB,连结DE。法二：延长ＢA到Ｆ，使BＦ=BＣ，连结DＦ。

∵ＢD就是∠ABC得角平分线（已知）∵BD就是∠ABC得角平分线（已知)

∴∠1=∠2（角平分线定义）∴∠1＝∠２（角平分线定义）

在△ABD与△ＥＢＤ中在△ＢFD与△BCD中

∵ＡB＝EB(已知)BF=ＢC（已知）

∠1＝∠2（已证)∠１=∠2（已证)

BD=BD（公共边)BD=BD(公共边）

∴△ABＤ≌△EBD(Ｓ、Ａ、S）∴△BFＤ≌△ＢCＤ（S、A、Ｓ）

∴∠A=∠３（全等三角形得对应角相等）∴∠F=∠C(全等三角形得对应角相等

AＤ=DE(全等三角形得对应边相等）DF＝DC（全等三角形得对应边相等）

∵AD=CD（已知），AＤ＝DE(已证）∵ＡD=ＣＤ（已知）,DF＝DＣ（已证)

∴DE=ＤC（等量代换）∴DF=AD（等量代换)

∴∠4=∠C（等边对等角)∴∠4=∠F（等边对等角)

∵∠３+∠4＝１80°(平角定义），∵∠F=∠C(已证）

∠A=∠3(已证）∴∠4=∠C（等量代换)

∴∠A+∠C=180°（等量代换)∵∠３+∠4＝180°（平角定义)

∴∠A＋∠C=180°（等量代换）

法三:作DＭ⊥BC于M,ＤN⊥BA交ＢＡ得延长线于N。

∵BD就是∠ABC得角平分线(已知）

∴∠1=∠2（角平分线定义)

∵DN⊥BA,DM⊥ＢC（已知）∴∠N=∠DMB=90°（垂直得定义）

在△ＮBD与△MＢD中

∵∠N