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悬臂梁固有频率得计算

试求在处固定、处自由得等截面悬臂梁振动得固有频率(求解前五阶)。

解：法一：欧拉-伯努利梁理论

悬臂梁得运动微分方程为:;

悬臂梁得边界条件为：

该偏微分方程得自由振动解为，将此解带入悬臂梁得运动微分方程可得到，；其中

将边界条件（1)、(2）带入上式可得，；进一步整理可得;再将边界条件(3)、（4)带入可得;要求有非零解,则它们得系数行列式必为零，即

所以得到频率方程为：；该方程得根表示振动系统得固有频率：满足上式中得各（)得值在书P443表8、4中给出,现罗列如下：；若相对于得值表示为,根据式中得,可以表示为；因此由此可得到悬臂梁得前五阶固有频率，分别将n=１，２,３，４,5带入可得:

;

法二、铁摩辛柯梁梁理论

1、悬臂梁得自由振动微分方程：

；

边界条件:;

设方程得通解为：；易知边界条件(1）满足此通解，将通解带入上面得微分方程可得到频率方程为：;其中;若转动惯量与剪切变形得影响均忽略，上式得频率方程简化为;当ｎ＝1，2，３,4，5时可分别求得固有频率为:

多自由度系统频率得计算方法

等效质量：连续系统悬臂梁简化为5个相等得集中质量。

1、邓克莱法

邓克莱公式为：

,其中,；将其代入上式可求得系统得基频为：,此基频比用伯努利－欧拉梁求得得一阶固有频率偏小，误差为17、42%，与邓克莱法得推导预期相符.

瑞利法

系统得质量矩阵、刚度矩阵与柔度矩阵分别为

取静变形曲线为假设阵型，设有

所以,此基频比用伯努利－欧拉梁求得得一阶固有频率偏大,误差为15、23％，与瑞利法得推导预期相符。

里茨法

系统得质量矩阵与刚度矩阵由上面给出，设阵型为

则可求出分别为

将代入得；可以求得:

，;以及;

所以系统前两阶主阵型得近似为

雅克比法

动力矩阵为，由雅可比法求解其特征值与特征向量为：其固有频率

，阵型为