数学学案：课堂探究直线方程的概念与直线的斜率.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课堂探究

探究一直线的倾斜角

求直线的倾斜角的方法及注意点．

（1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形）求角．

(2）两点注意：

①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；

②注意直线倾斜角的取值范围．

【典型例题1】(1）直线x＝－1的倾斜角为()

A．135°B．90°C．45°D．0°

解析：因为直线与x轴垂直，所以倾斜角为90°．

答案：B

（2)下列说法正确的是（）

A．一条直线和x轴的正方向所成的角,叫做这条直线的倾斜角

B．直线的倾斜角α在第一或第二象限

C．和x轴平行的直线,它的倾斜角为0°

D．不是每一条直线都有倾斜角

解析：倾斜角的定义是直线向上的方向和x轴正方向所成的角,故A错误；倾斜角的范围是0°≤α〈180°，故B错误；和x轴平行的直线的倾斜角是0°，故C正确；每条直线都有倾斜角,故D错误．

答案：C

探究二求直线的斜率

1．若两点的横坐标相等，则直线的斜率不存在．

2．若两点的横坐标不相等,则将两点的坐标代入斜率计算公式．当两点的坐标中有字母时,要注意分类讨论．

【典型例题2】已知直线l经过两点A（2，－1),B（t，4），求直线l的斜率．

思路分析:点B的坐标中含参数t，注意分类讨论．

解：(1）当t＝2时，直线l与x轴垂直,所以直线l的斜率不存在．

（2)当t≠2时，直线l的斜率k＝＝，

所以综上所述，当t＝2时,直线l的斜率不存在；

当t≠2时，直线l的斜率k＝．

探究三斜率公式的综合应用

利用直线的斜率公式可以解决以下几类问题：

(1）若已知直线的斜率或直线斜率间的关系，可求直线所过点的坐标中参数的值．

（2）可以判断三点是否共线．

已知三点A，B，C，若过A,B两点的直线的斜率与过A，C两点的直线的斜率相等,此时A，B，C三点共线．

【典型例题3】(1)若过点P(1－a，1＋a)与Q（3，2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是________．

解析：因为直线的倾斜角为钝角，

所以直线的斜率小于0，

即kPQ＝＝〈0，

所以－2〈a〈1．

答案：－2a1

(2)求证A（1,5)，B(0,2），C(2，8）三点共线．

证明：(方法一）利用斜率公式计算出AB和AC两条直线的斜率,

kAB＝＝3，kAC＝＝3．

因为直线AB和AC的斜率相同,又直线AB和AC过同一点A，所以A，B，C三点共线．

（方法二）因为|AB｜＝

＝，

|AC|＝＝，

｜BC｜＝＝，

即|AB｜＋|AC｜＝｜BC｜，

所以A，B，C三点共线．

【典型例题4】已知实数x,y满足y＝－2x＋8,且2≤x≤3，求的最大值和最小值．

思路分析：根据的几何意义，本题的实质是求线段y＝－2x＋8(2≤x≤3)上的点与原点连线的斜率的最值．

解:如图,由已知得，点P(x，y）在线段AB上运动,其中A（2,4），B(3,2)，

而＝，其几何意义为直线OP的斜率．

设直线OA，OB,OP的斜率分别为kOA，kOB，kOP．

由图可知kOB≤kOP≤kOA，而kOB＝eq\f(2，3)，kOA＝2．

故所求的eq\f（y，x)的最大值为2，最小值为eq\f（2，3)．

点评利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可以写成(x1≠x2)的形式，从而联想其几何意义（即直线的斜率）,再利用几何图形的直观性来分析解决问题．

探究四易错辨析

易错点:忽视了倾斜角的范围而致误

【典型例题5】设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转30°,得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(）

A．α＋30°

B．α－150°

C．150°－α

D．当0°≤α〈150°时为α＋30°，当150°≤α〈180°时为α－150°

错解：直线l按逆时针方向旋转30°，结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l1的倾斜角为α＋30°．

答案：A

错因分析：没有考虑到α＋30°会大于或等于180°，这样就不满足倾斜角θ的范围为0°≤θ〈180°了．

正解：要分类讨论，旋转30°后，看α＋30°是否是集合{θ|0°≤θ180°｝中的元素．若是，则l1的倾斜角为α＋30°；若不是，则l1的倾斜角为α＋30°－180°＝α－150°．

答案:D