数学学案：例题与探究不等关系与不等式.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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典题精讲

例1若a＞b（ab≠0），试比较与的大小。

思路分析：不等式两边同乘以(或除以)一个不等于零的代数式时,要考虑此式的正负.利用分类讨论思想进行讨论，也可以直接作差，比较作差后的式子与0的大小关系,或者考虑函数y=的单调性.

解法一：当ab＞0时，＞0,

所以a×＞b×＞.

当ab＜0时,＜0，

所以a×＜b×＜。

解法二：-=.

因为a＞b,所以b＜ab-a＜0。

所以,当ab＞0时,＜0,即-＜0。

当ab＜0时，＞0,即—＞0＞。

解法三：函数y=在区间（—∞,0)和（0,+∞)都是单调递减的,当a＞b＞0或a＜b＜0时,;

当a＞0＞b时，＞。

黑色陷阱:本题很容易有这样的误解：一个数越大,则倒数越小，而由以上例题的结论，知这个结论只有在两个数同号的时候才是成立的；在解决这类问题时还要注意,同时乘以一个数(或式子）要考虑所乘的数（或式子）的正负来决定相乘后是否改变符号。

变式训练已知a＞b,不等式(1)a2＞b2，(2)＞,（3)＞成立的个数是（）

A。0B。1C.2

思路解析:严格的按照不等式的性质比较大小,也可以通过举例，进行排除.(1)非负数两边才能平方,原来大的仍大，如a=1，b=—3时,a2＜b2。(2）需考虑的符号,当a＞b＞0时，.(3)-的符号不确定，所以也不能确定与的大小.

答案:A

例2已知a、b∈R，求证:a4+b4≥a3b+ab3。

思路分析：本题可以采用作差法,然后对作差后的式子进行整理,比较与0的大小,由于本题比较复杂,主要是次数较高,所以，首先提取公因式，降次后再进行整理.

证明：(a4+b4）—（a3b+ab3）=a3（a-b)+b3（b—a）=（a-b）(a3—b3）=(a-b）2(a2+ab+b2）

=(a—b）2[(a+）2+b2].

∵(a—b)2≥0，(a+)2+b2≥0,

∴(a-b)2［(a+）2+b2］≥0.

∴a4+b4≥a3b+ab3.

绿色通道：比较法是证明不等式中最基本、最重要的方法,其步骤为：作差（或n次方作差）——变形——确定符号—-得出结论.其中，作差是依据,变形是手段，确定差的符号是目的,至于证题的思路体现了数学中的转化思想。这里，关键的步骤是对差式的变形.

变式训练设A=1+2x4,B=2x3+x2，x∈R,则A、B的大小关系是。

思路解析：利用作差法比较大小,要注意观察系数的特点进行因式分解.

A-B=1+2x4—2x3-x2=2x3（x-1）—（x2-1）

=（x-1）（2x3-x-1）=（x-1）［(x3—x）+(x3—1）］

=（x-1）2（x2+x+x2+x+1）=(x—1）2(2x2+2x+1）≥0。

所以A、B的大小关系是A≥B.

答案：A≥B

例3（1)如果30＜x＜36，2＜y＜6，求x—2y及的取值范围；

(2）若—3＜a＜b＜1,-2＜c＜—1,求（a—b）c2的取值范围.

思路分析：在判断某些式子的取值范围时,可灵活运用不等式的性质,如涉及两个不等式的“相减”“相除”时，往往要将其转化为不等式“相加”“相乘”的运算。

解:(1)∵2＜y＜6,∴—12＜-2y＜-4.

又∵30＜x＜36，∴30-12＜x—2y＜36—4，

得18＜x—2y＜32.

又∵2＜y＜6，∴＜＜。

∴5＜＜18.

（2）∵—3＜a＜b＜1,

∴-3＜a＜1,—3＜b＜1，a＜b.

∴-4＜a—b＜0。

又∵-2＜c＜-1，∴1＜c2＜4。

∴-16＜（a-b)c2＜0。

黑色陷阱：很容易由2＜y＜6,得到4＜2y＜12,从而得出—26＜x—2y＜24。实际上这是错误的,因为y乘以2不改变不等号的方向,而y乘以—2就要改变符号，而此种解法就没有考虑符号的改变,所以得出了错误的结论.

变式训练（1)若a＞b＞0,c＜d＜0，求证：。

（2)已知≤α＜β≤，求的范围.

思路分析:严格按照不等式的性质进行变形，除法要转化成乘法,减法转化成加法。

（1)证明:-ac＞—bd,

又c＜0,d＜0＞.

（2）解：∵≤α＜β≤,∴≤α＜，＜β≤。

∴—π＜α+β＜π。

∴＜＜。

∵≤—β＜，≤α＜，α＜β，

∴α-β＜0.∴-π≤α-β＜0.

∴≤＜0.

例4甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步。如果两人步行速度、跑步速度均相同，问甲、乙两人谁先到达教室？

思路分析：本题牵涉到物理问题中的速度和路程的相关知识,首先应根据条件，表示出甲、乙两人到达教室的时间表达式，然后作差比较他们所用时间的多少，所用时间少的先到。

解:设总路