数学学案：例题与探究等比数列.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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典题精讲

例1已知a，b,c依次成等比数列，且x，y分别是a,b和b,c的等差中项,求的值.

思路分析:从题意推测所求应为一常数，应用特殊化思想，令a，b,c分别为1，3，9,则x=2，y=6,则==2.

解：已知a,b，c成等比数列，设其公比为q,

则b=aq，c=bq,

x，y分别为a,b和b，c的等差中项，

则.

∴.

绿色通道：x=，似乎无法通分,但只要注意到a，b，c成等比数列，设公比为q,则b+c=q（a+b）就可以通分了.

变式训练（2006湖北高考,理2）若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c，a,b成等比数列，且a+3b+c=10,则a等于（)

A.4B.2C。-2

思路解析：由互不相等的实数a,b，c成等差数列,可设a=b-d，c=b+d。

由a+3b+c=10，得b=2。

所以a=2—d，c=2+d.

又c，a，b成等比数列，则a2=bc，

即（2—d)2=2(2+d）得d=6。

所以a=-4。

答案:D

例2在等比数列｛an}中，Sn=48，S2n=60，求S3n。

思路分析:由已知可列的两个方程组成的方程组中有三个量a1,q,n,要独立求出这三个量的值是不可能的，但进行整体代换则问题很快得到解决.

解：设等比数列{an｝的公比为q,因Sn=48，S2n=60，

所以q≠1，

于是得方程组

②÷①，得1+qn=，qn=。

则q3n=。

又1—qn=,

代入①，=64,

所以S3n=.

绿色通道:整体代换,求比值的方法在处理数列问题及其他有关数学问题时经常遇到.另外，还可以运用等比数列性质做此题：若数列{an｝是等比数列,Sn是其前n项的和,k∈N+，那么Sk，S2k—Sk，S3k-S2k成等比数列。则有

，

则（S2n—Sn)2=Sn（S3n—S2n）,

∴(60—48）2=48(S3n-60），得S3n=63。

变式训练1（2006全国高考Ⅱ,文18)设等比数列｛an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，求通项公式an.

思路分析：在求解过程中把q4-1看成一个整体，简化运算。

解：设{an｝的公比为q，由S4=1,S8=17,知q≠1，

得=1,①

=17.②

由①②式，得=17.解得q4=16.

所以q=2或q=-2.

将q=2代入①式，得a1=.所以an=。

将q=-2代入①式，得a1=。

所以an=。

变式训练2（2006全国高考Ⅰ，文17)已知｛an｝为等比数列,a3=2,a2+a4=,求｛an}的通项公式.

解:设等比数列｛an}的公比为q，则q≠0，a2=，a4=a3q=2q。

所以,解得q=3或.

当q=时,a1=18。

所以an=18×（)n-1==2×33-n.

当q=3时，a1=,

所以an=×3n-1=2×3n—3.

变式训练3(2006重庆高考,理14）在数列｛an}中，若a1=1，an+1=2an+3(n≥1)，则该数列的通项an=____________.

思路解析：在数列{an｝中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1）,

∴an+1+3=2（an+3)(n≥1）,

即｛an+3｝是以a1+3=4为首项,2为公比的等比数列。

∴an+3=4·2n-1=2n+1.

∴该数列的通项an=2n+1—3。

答案:2n+1—3

例3已知等比数列的前n项和Sn=4n—1+a,则a的值为_____________。

思路解析:∵S1=a1=1+a,S2=a1+a2=4+a，

∴a2=3.

∵S3=16+a,S3-S2=a3=12，

∴q==4.

由a2=a1q，得(1+a）4=3。

∴a=。

答案：

绿色通道：注意到等比数列前n项和的结构将有助于更快、更准确地求出a的值。

变式训练（2006辽宁高考，理9)在等比数列｛an｝中，a1=2，前n项和为Sn，若数列｛an+1｝也是等比数列，则Sn等于(）

A.2n+1—2B.3nC.2nD.3n—1

思路解析：因数列｛an}为等比数列，则an=2qn-1，因数列{an+1｝也是等比数列,则

(an+1+1)2=(an+1）（an+2+1）an+12+2an+1=anan+2+an+an+2an+an+2=2an+1an（1+q2—2q)=0q=1,

即an=2。

所以Sn=2n.

答案:C

例4