数学学案：例题与探究等差数列.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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典题精讲

例1已知a，b，c，d四数依次成等差数列,且a2+b2+c2+d2=94，ad—bc=-18，求a，b,c,d.

思路分析：在等差数列中,已知五个元素a1,an，n，d，Sn中任意三个，便可求出其余的两个.已经给出两个等式,而未知数有四个，应该有四个方程才行.那么，能否减少未知数个数呢?考虑到等差数列的结构,不妨取公差为2d,这样四个数可表示为x—3d，x—d,x+d，x+3d,根据其对称的表达式，很容易解出x,d.

解:将a,b，c，d表示为x-3d，x-d，x+d,x+3d.

由题意，有

即

∴d2=,x2=.

当x=,d=时，四个数依次为-1,2，5，8;

当x=，d=时，依次为8，5,2,-1;

当x=,d=时,四个数依次为-8，-5，—2，1;

当x=,d=时,四个数依次为1,-2,—5，—8。

绿色通道：在设等差数列时,适当地注意对称性可有效地减少运算,如三数成等差,可设为a-d，a,a+d；四个数成等差，可设为a-3d,a—d,a+d，a+3d,这样在计算时，如遇到乘积、平方和这些我们平时很“怵的问题,都可以迎刃而解了。

黑色陷阱:在设a,b，c,d时,很容易设等差数列的公差为m，则b=a+m,c=a+2m,d=a+3m,这样运算量就太大了,且运算量大导致错误的机率大。

变式训练（2006全国高考Ⅰ,理10）设｛an｝是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12

A。120B.105C.90

思路解析：{an｝是公差为正数的等差数列，a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,设a1=a2—d，a3=a2+d，则可得3a2=15，（a2—d）a2

解得a2=5,a1a3

a12=a2+10d=35.

∴a11+a12+a13=3a12=105。

答案:B

例2等差数列｛an｝中,a1=25，S17=S9,问数列前多少项之和最大，求此最大值。

思路分析:数列的首项是正数,而且求出的公差是负数，可知这个数列是递减数列,到某一项开始出现负项,则这个数列存在前n项和最大的情况,即所有的正数项的和是最大的。

解法一:由得

从而Sn=25n+（—2)=-（n-13)2+169。

故前13项和最大，且最大值为169。

解法二:由S17==9a5以及S17=S9,得d=—2.

所以an=a1+(n-1）d=25—2（n—1)=27—2n。

显然，a13=1,a14=—1.

所以前13项和最大,最大值为S13==169。

绿色通道:数列前n项和的最值问题的解决可从两个方面思考：(1)求出前n项和公式,利用函数的最值解决;(2）结合数列的特征,运用函数单调性的思路解决。当一个数列是递减数列时，一定会出现一个时刻:在此之前的项都是非负数，而后面的项都是负数，显然最值问题很容易判断。第二种思路运算量小,可简化运算，提高计算的正确率。这两种思路都是在函数思想指导下完成的。

变式训练设等差数列｛an}的前n项和为Sn,已知a3=12，且S12＞0,S13＜0.

(1）求公差d的取值范围.

(2）该数列的前几项的和最大？说明理由.

思路分析:为了求公差d的取值范围,显然要设法把S12,S13表达成d的表达式，这一点是不难做到的,然后利用S12＞0,S13＜0计算d的范围.不过从已知条件可以估计{an}是一个递减数列，d是一个负数。

（1）解:根据题意，有

整理得

解之，得＜d＜—3.

(2）解法一：解关于n的不等式组

由，可得

所以5.5＜n＜7,即n=6.

所以S6最大.

解法二：利用前n项和公式,得Sn=na1+d=n(12-2d）+d=n2+（12—d)n=［n-(5—）］2-［（5-)］2.

∵d＜0，

∴［n(5-）]2最小时，Sn最大.

由于＜d＜-3,则6＜(5-)＜6。5,

∴n=6时，[n（5-)]2最小，因此S6最大.

例3（2006北京高考,文20)设等差数列{an｝的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.

(1）若a11=0，S14=98,求数列｛an｝的通项公式；

（2）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式。

思路分析：在解题过程中正确选择前n项和公式的形式以达到简化运算的目的,在根据不等式求解数列的首项和公差时,应注意a1，d都是整数,可先确定其中一个变量的范围，然后再求另一个变量.

解:（1）由S14=98,得2a1+13d=14。

又a11=a1+10d=0，故解得d=—2,a1=20.

因此,｛an}的通项公式是an=22—2n，n=1,2，3,….

（