抛物线解析-2025届高三数学一轮复习.docx

抛物线

1.抛物线的定义

平面内与一定点和一条定直线（）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．

2.抛物线的几何性质

标准方程

图形

焦点坐标

准线方程

范围

焦半径

对称性

轴

轴

顶点

离心率

1．抛物线的焦点坐标是（）

A．B．C．D．

【答案】D

2．已知抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是（）

A．B．C．D．

【答案】A

3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，如果，那么（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由抛物线方程可知，得.

∴.

4．从抛物线上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则的面积为（）

A．B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意得，

∴，，．

∴．

考点一抛物线的定义及运用

【例1】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知点是一个定点，则的最小值是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由，得，

∵，∴点在抛物线内部，

抛物线准线，如图，，

∴，当且仅当,,三点共线时取等号．

【方法技巧】与抛物线有关的最值问题的求解策略

（1）“看到准线想焦点，看到焦点想准线”；

（2）构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

【变式】已知点在抛物线上，则点到直线：的距离和到直线的距离之和的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵点到直线的距离等于点

到抛物线焦点的距离，如图：

，

∵的最小值就为点到直线的距离．

∴，故选C．

考点二抛物线的标准方程和几何性质

命题点1求抛物线的标准方程

【例2】已知抛物线的焦点在轴上，其上一点到焦点的距离为，则抛物线的标准方程为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】依题意得，，∴.∴抛物线方程为.

【方法技巧】求抛物线的标准方程的方法及流程

(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有，所以只需一个条件确定值即可．

(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．

【变式】过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若弦的垂直平分线经过点，则等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】直线的方程为，

由，得，

设，的中点，则，，

∴弦的垂直平分线方程为，

∵弦的垂直平分线经过点，∴，∴．

命题点2抛物线的几何性质

【例3】已知抛物线的焦点为，、为抛物线上两点，若，为坐标原点，则的面积为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】设，，则．

∵，∴，∴，或．

∵．

考点二抛物线的标准方程和几何性质

命题点2抛物线的几何性质

方法技巧】抛物线焦点弦的几个常用结论

设是过抛物线焦点的弦,

设,则

(1)，.

(2)为直线的倾斜角)．

(3)为定值.

(4)以为直径的圆与准线相切．

(5)以或为直径的圆与轴相切．

【变式】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（）

A．B．

C．D．

【解析】．

考点三直线与抛物线的综合问题

【例4】在直角坐标系中，直线:交轴于点，交抛物线：于点，关于点的对称点为，连结并延长交于点．

（1）求；（2）除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由．

【解析】（1）如图，依题意，则，．

∴直线的方程为．

由，得，

∴的纵坐标为，∴．

【解析】（2）由（1）可知的坐标为，∴直线的斜率，

∴直线的方程为，即．

由，得，

∴该方程的判别式，

∴除以外，直线与是没有其它公共点．

【方法技巧】直线与抛物线的位置关系解题策略

(1)直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式；若不过焦点，则必须用弦长公式．

1.为抛物线上一点，则到其焦点的距离为（A）

A．B．C．D．

【解