教学设计——杨建华.docxVIP

2.3用公式法求解一元二次方程

第1课时用公式法解一元二次方法

北京师范大学银川学校杨建华

教学内容分析

本节课属于《北京师范大学出版社义务教育教科书数学》九年级上册第二章《一元二次方程》第三节“用公式法求解一元二次方程”第1课时内容。一元二次方程是学生在义务教育阶段学习的最后一类方程。在此之前学生已经经历过一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程的研究经验。因此本章整体是按照“认识方程——求解方程——应用方程”这样的顺序开展研究的。

本节课是求解一元二次方程的第二节，在此之前学生学习了用配方法求解一元二次方程。本节课可以看做是“因式法求解一元二次方程”的一般化表示，因此也是对上节课知识的进一步巩固。解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程,也就是降次。本节课通过配方法，将一元二次方程的一般式转化成完全平方的形式，然后通过开方进行降次。学生类比上节课所学，将一般式进行配方的过程，一方面能进一步深化对一元二次方程的理解，同时提高学生的符号意识。

此外，通过本节课的学习，学生不光得出一元二次方程根的一般表达形式，更要求学生用字母进行配方、开方等，在过程中感受一元二次方程的根有系数完全决定。同时两根的结构特征，也为本章后续学习“一元二次方程根与系数的关系”做铺垫。

本节课不光对本章后续，对跨章节知识同样具有工具性作用。通过本章的学习，为九年级下册学习“二次函数”做铺垫；相应的，本节课公式的学习，为学习二次函数顶点坐标公式作出铺垫。因此综合来，本节课在“函数与方程”体系中具有承上启下的作用。

教学重点

学生推导一元二次方程的求根公式,并应用它解一元二次方程,熟悉根的判别式的运用.

教学目标

1.学生经历推导求根公式的过程，能掌握求根公式，会用公式法解一元二次方程。

2.学生在推导的过程中，感受一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的符号意识。

学生情况分析

在八年级下册学习分式方程时，学生已经有意识将其“转化”为一元一次方程，这仍然是本章求解一元二次方程的中心思想。并且学生在本章之前的学习中，学习过直接开平方法、配方法解一元二次方程，这都为本节课的学习奠定基础。

但是，本节课推导的过程对学生来说难度较大：1.学生要根据配平方法，将等式右边化成b2-4ac4a2

教学重点

推导求根公式时，等号两边同时开方，能正确的将等号右侧化成±b

教学方法

讲授法、合作探究法、交流对话法。

教学过程

知识回顾

用配方法解方程：

（1）2x2－7x＋3＝0，（2）4x2+1=4x.

教师提问：求解过程中你发现了什么？

学生回答：用配方法求解的过程，整体思路、具体步骤是一致的。

教师追问：用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？

学生回答：①将二次项系数化为1.②将常数项移到方程的右边，是左边只有二次项和一次项.③两边都加上一次项系数一半的平方.④直接用开平方法求出它的解.

教师继续追问：对于不同方程，配方的过程是相似的，步骤是一致的，由此你能想到什么？是否有更简单的方法求解一元二次方程？

设计意图：通过师生对话，引导学生自发的想到用公式法代替配方的过程，意识到学习公式法的必要性，激发学生的学习兴趣。

二、公式推导

我们发现,利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的,因此,如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),得到根的一般表达式,那么再解一元二次方程时,就会方便简捷得多.

你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?请你试一试,并与同伴交流.

师生共同得出证明:

方程两边同时除以a,得

x2+bax+c

移项,得

x2+bax=-c

配方,得

x2+bax+b24a2

即x+b2

教师提问：接下来能用直接开平方解吗？

教师追问：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？

学生通过思考、交流得出：因为a≠0,所以4a20.当b2-4ac≥0时,b2-4ac4a2是一个非负数,此时两边开平方；

教师继续追问：你能说说一元二次方程的根有几种情况吗？这与什么有关？

学生：有三种情况，与当b2-4ac的正负性有关。

小结：

对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)

b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根.

b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.

b2-4ac0时,方程无实数根.

我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),的根的判别式，用符号“Δ”来表示.

当b2-4ac≥0时，等式左右两边同时开方：

x+b2a=±

教师提问：分母部分开方应为2|a|，也就是x+b2a=±b

学生回答：不能，a有正负之分。

教师追问：也就是说分母部分为：±2a，等式右侧