广东省广州第六中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题.docx

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广东省广州第六中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，集合,集合，那么=

A． B． C． D．

2．已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为（????）

A． B． C．2 D．

3．“”是“方程表示椭圆”的（）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若直线l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣x﹣2y＝0，则的最小值为（）

A． B．2 C． D．

5．已知，则（????）

A． B． C． D．

6．已知函数，且满足，则实数的取值范围是（???）

A． B． C． D．

7．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

8．是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中不正确的是（???）

A．的值域为0,2

B．当时，

C．图象的对称轴为直线

D．方程恰有5个实数解

二、多选题

9．下列命题是真命题的有（）

A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直

B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则

C．平面，的法向量分别为，，则

D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则

10．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（???????）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

11．中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.若是该双纽线上的一个动点，则下列结论正确的是（????）

A．点的横坐标的取值范围是

B．的最大值是

C．面积的最大值为

D．的取值范围是

三、填空题

12．第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为.

13．已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为.

14．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为.

四、解答题

15．设三角形的内角、、的对边分别为、、且．

(1)求角的大小；

(2)若，边上的高为，求三角形的周长．

16．已知圆M：，点P是直线l：上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．

(1)当切线PA的长度为时，求点P的坐标；

(2)求线段AB长度的最小值．

17．“中式八球”是受群众欢迎的台球运动项目之一.在一场“中式八球”邀请赛中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军，本次邀请赛采取“双败淘汰制”.具体赛制如下：

首先，4人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；

接下来，“胜区”的2人对阵，胜者进入最后的决赛，“败区”的2人对阵，败者直接淘汰出局，获得第四名；

紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的2人进行最后的冠亚军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.

现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.

(1)经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.若.

（I）求甲连胜三场获得冠军的概率；

（Ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率；

(2)除“双败淘汰制”外，“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”；抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.问当p满足什么条件时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠?

18．如图，在四棱锥中，底面是由等边三角形和等腰三角形构成，其中为棱上一点，平面．

(1)求的值；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

19．已知函数，.

(1)求函数的最大值；

(2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值.

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