河北省部分校2024−2025学年度高二上学期期中联考 数学试卷【含解析】.docx

河北省部分校2024?2025学年度高二上学期期中联考数学试卷【含解析】

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知全集，集合，集合，则等于（????）

A． B． C． D．

2．直线是双曲线的一条渐近线，则（????）

A．1 B．2 C．4 D．16

3．直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

4．已知，向量，，，且，，则的值为（????）

A． B． C． D．

5．已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（????）

A．3 B． C． D．2

6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，点满足．过点总可以向以点为圆心?为半径的圆作两条切线，则半径的取值范围为（????）

A． B． C． D．

7．如图所示，在三棱锥中，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

8．已知的顶点均在抛物线上，且，过分别作抛物线的切线，则三条切线围成的三角形的面积为（????）

A． B． C． D．2

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（????）

A．当时，曲线为直线

B．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆

C．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线

D．曲线不可能是圆

10．下列说法正确的是（????）

A．在长方体中，可以构成空间的一个基底

B．已知三点不共线，对平面外的任一点，若点满足，则在平面内

C．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为

D．已知是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为，若满足，则

11．已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为为的角平分线，，点均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（????）

A．

B．以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为

C．若，则的取值范围为

D．若，则的最小值为

三、填空题（本大题共3小题）

12．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则.

13．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为．

14．已知长方体中，，点为平面内任一点，且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最小值为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知双曲线的左右焦点与点构成等边三角形．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若直线过定点且与双曲线交于两点，当时，求直线的方程．

16．一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．

??

(1)若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由；

(2)若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值．

17．在中，角的对边分别为，已知．

(1)求A；

(2)若，求三角形内切圆半径的取值范围．

18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点．

(1)若为棱中点，证明：面；

(2)在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

(3)分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值．

19．已知椭圆的离心率为且过点，过点作椭圆两条切线，切点分别为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求直线的方程；

(3)过点作直线交椭圆于两点，其中点在轴上方，直线交直线于点．试证明：恒成立．

参考答案

1．【答案】D

【详解】全集，而，

则，又，

所以．

故选：D．

2．【答案】A

【详解】直线是双曲线的一条渐近线，由直线的斜率为2，得，所以．

故选：A．

3．【答案】D

【详解】化为，

直线的斜率为，倾斜角为.

故选:D.

4．【答案】A

【详解】因为向量，，，

由，则，解得，

由，则，解得，则．

故选：A．

5．【答案】B

【详解】因函数的周期为2，且为奇函数，

故，

.

故选：B．

6．【答案】B

【详解】设Px,y，由，则，故，

得圆，圆心为，半径为.

又点与圆心的距离为，由于过点总可以向以点为圆心的圆作两条切线，故两圆相离，所以，故的取值范围为．

故选：B

7．【答案】D

【详解】在中，，

，则，

取的中点分别为，则分别为的外心，且，

平面平面，平面平面平面，

平面，因平面，故,

在中，又

在中，

在中，

故为三棱锥外接球的球心，外接球的半径，

故外接球的表面积.

故选:D．

8．【答案】A

【详解】依题意，设，过点的切线，

联立得，

令，解得，故得，

同理可得，

记交于点交于点交于点，联立?的方程解得，

同理可得，则．

另外直线，化简得：;