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第十七讲等腰三角形和直角三角形

A层·基础过关

1.已知等腰三角形两边的长分别是3和5,求此等腰三角形的周长.小明的解答过程如下:“当3是腰长时,底边长为5,则三角形周长为:3+3+5=11;当5是腰长时,底边长为3,则三角形周长为:3+5+5=13.”小明的解答方法体现的数学思想是(B)

A.方程思想 B.分类讨论思想

C.公理化思想 D.转化思想

2.(2024·玉林模拟)学完等腰三角形的性质后,小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是36°,求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是36°,求底角的度数”.下面的四个答案,你认为正确的是(C)

A.36° B.144°

C.36°或72° D.72°或144°

3.(2024·兰州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB=(B)

A.100° B.115° C.130° D.145°

4.一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则CD=(B)

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

5.(2024·青海)如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是(A)

A.3 B.6

C.3 D.33

6.(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为100°.?

7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,若AB=5,BC=6,则AD的长度为4.?

8.如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C=52°.?

B层·能力提升

9.如图,已知△ABC的面积为48,AB=AC=8,点D为BC边上一点,过点D分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若DF=2DE,则DE长为(C)

A.2 B.3 C.4 D.6

10.(2024·南充)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=12AB,连接AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A为圆心,以AD长为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为

A.5-12 B

C.5-1 D.5-2

11.已知点P是等边△ABC的边BC上的一点,若∠APC=104°,则在以线段AP,BP,CP为边的三角形中,最小内角的大小为(B)

A.14° B.16°

C.24° D.26°

12.(2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为6或12.?

13.如图,P为等边△ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为6,8,10,则△ABC的面积为36+253.?

14.问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.

答案:∠DAC=45°.

思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由;

【解析】(1)∠DAC的度数不会改变.

∵EA=EC,∴∠AED=2∠C,①

∵∠BAE=90°,BA=BD,

∴∠BAD=12[180°-(90°-2∠C)]=45°+∠C

∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C,②由①,②得,∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°.

(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.

【解析】(2)设∠ABC=m°,则∠BAD=12(180°-m°)=90°-12m°,∠AEB=180°-n°-

∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+12m

∵EA=EC,∴∠CAE=12∠AEB=90°-12n°-12m°,∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+12m°+90°-12n°-12

C层·挑战冲A+

15.(2024·滨州)【问题背景】

某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现:

①如图,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C;

②某同学顺势提出一个问题:既然①正确,那么进一步推得AB=AC,即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出∠B=∠C吗?

基于此,社团成员小军、小民进行了探索研究,发现确实能推出∠B=∠C,并分别提供了不同的证明方法.

小军

小民

证明:分别延