北京市第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）.docxVIP

高二数学

（试卷满分150分考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）

1.已知，，，若，则（）

A.5 B.4 C.1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可以先求出，再由它们平行可以得到比例关系从而求出参数，由此即可得解.

因为，，，

所以，

因为，所以，解得，

所以.

故选：A.

2.已知直线，．若，则实数（）

A.或 B.或 C.或 D.或

【答案】C

【解析】

【分析】

利用两条直线斜率之积为求解.

若，则，解得或.

故选：C.

【点睛】若直线和直线，当直线时有，.

3.直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用两角和的正切公式可求得直线的斜率.

设直线的倾斜角为，则，

将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，

则直线的倾斜角为，

因此，直线的斜率为，

故选：D.

4.已知方程表示一个圆，则实数a的取值范围为（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用方程表示圆充要条件，列式求解即得.

方程表示一个圆，则，解得或，

所以实数a的取值范围为.

故选：D

5.与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的方程是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，进而求出所求方程的椭圆长半轴长即可.

椭圆的焦点坐标为，

所求方程的椭圆长半轴长，

所以所求方程为.

故选：A

6.如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（）

A.

B.

C.

D

【答案】A

【解析】

【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.

在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，

则.

故答案为：A.

7.正方体中，、分别为、的中点，则（）

A.平面 B.平面

C.平面 D.平面

【答案】B

【解析】

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则A0,0,0、、、、、

、、、、，

设平面的法向量为m=x1,y1

则，取，可得，

设平面的法向量为n=x2,y2

则，取，则，

对于A选项，，A错；

对于B选项，，，且平面，则平面，B对；

对于C选项，，C错；

对于D选项，，，D错.

故选：B.

8.若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上点的任意一点，则的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设点，可得出，且有，利用平面向量的数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最大值.

由椭圆方程得，设，则，

为椭圆上一点，，可得，且有，

．

因为，当时，取得最大值.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中向量数量积最值的求解，解决本题的关键点在以下两方面：

（1）的变化是由点在椭圆上运动而产生，解题时可设，将利用点的坐标加以表示；

（2）在求的最值时，充分利用椭圆的有界性结合二次函数的基本性质求解.

9.在三棱锥中，平面，，，，则直线与平面所成角的大小为（）

A.30° B.45° C.60° D.75°

【答案】C

【解析】

【分析】取的中点，连接，利用线面、面面垂直的判定及性质确定线面角，进而求出大小.

在三棱锥中，取的中点，连接，

由，得，而平面，平面，则，

平面，则平面，又平面，

因此平面平面，在平面上的射影为直线，

即是直线与平面所成的角，

由，得，

在中，，.

故选：C

10.在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（）

A.0 B.3 C.4 D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立点坐标间的等式，再分类讨论得解.

在正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

令，则，设，

，，于是，

整理得，显然点不能在坐标轴上，否则，

当时，，

而，无解，即点不能在棱上；

当时，，

若，则；若，则无解；若，则，

于是点不能在棱上，可以在棱上；

当时，，

若，则无解；若，则，于是点不能在棱上，可以在棱上，

所以可以在棱上，点P个数为3.

故选：B

【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线线角的求法建立等式，分类讨论求解.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11.已知，，若，则实数的值为________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及空间向量坐标运算计算即得.

由，，得，，

由