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TD-ERCS混沌系统的周期轨道研究—Ⅲ

盛利元贾伟尧

（中南大学物理科学与技术学院，长沙410083）

E-mail:itpo@

摘要：续文献“TD-ERCS混沌系统的周期轨道研究—Ⅰ,Ⅱ”（盛利元，2005，），采用数值仿真方法对已经导出的正则周期2、周期3和周期4轨道进行了数值计算，发现切延迟操作m=0时，这些周期轨道是稳定的，切延迟操作m≥1时，这些周期轨道是不稳定的。这一结果表明，如果TD-ERCS混沌系统用于信息加密技术将不存在由于短周期而导致的弱密钥。

关键词：TD-ERCS，混沌，周期轨道，稳定性

1.引言

文献[1,2]理论上分别证明了TD-ERCS在切延迟操作m=0和切延迟操作m≥0条件下的周期轨道的存在性问题，并导出了可能的正则周期2、周期3和周期4轨道。本文根据TD-ERCS的迭代方程采用数值仿真方法对这些已知的正则周期轨道逐一进行了的数值计算，试图检验这些周期轨道的稳定性，因为在双精度下，计算机截短误差数量级为2?53。另外，在迭代过程中，没有外加任何扰动项，因而，本文的研究还可以进一步检验TD-ERCS混沌系统对计算机截短误差的敏感程度，对于研究混沌系统的抗退化能力具有重要意义。

2.正则周期2轨道

文献[2]证明了无论切延迟m为多少，周期2轨道总是存在。均采用第一类过渡态，分别取切延迟m=0，m=1，m=2，m=10，m=21和m=31进行数值迭代，用前250个轨道点作图。

周期Tx(2,1,1)的轨道点为{0,0}，其演化轨道如图1所示。从图中可看出，切延迟操作m=0时，周期Tx(2,1,1)是稳定的；切延迟操作m≥1时，周期Tx(2,1,1)是不稳定的。此外，还发现随着切延迟量m增大，系统表现不稳定性也推迟。这是因为采用了第一类过渡态，

使得前m次迭代是稳定的，正常态的稳定性相当于切延迟m=1时的第次迭代的状态。例如，m=31的系统的稳定性相当于m=1的系统在次迭代时的状态，因而其演化

轨道还没有来得及完全散乱。若采用第二类过渡态，可以验证，m≥1的系统没有不稳定性延迟的问题。

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图1取相同的初始条件μ=0.8,x0=0,n=250，周期2轨道Tx(2,1,1)在切延迟分别为m=0,1,2,10,21,31时的数字计算结果

周期Ty(2,1,1)的轨道点为{1,?1}，其演化轨道如图2所示。与周期Tx(2,1,1)不同，不仅在切延迟操作m≥1时周期是不稳定的，而且在切延迟操作m=0时周期也是不稳定的，这是唯一的特例。周期Ty(2,1,1)的演化轨道在切延迟操作m=0下的演化图样与文献[3]所定义的过焦系统的演化图样完全一样。理论上周期Ty(2,1,1)是过焦系统的极限，可是，在数值迭代下过焦系统与切延迟操作m=0时的周期Ty(2,1,1)轨道具有相同演化图样：一个完全由截断误差诱导的随机振荡系统。深入研究我们已经进一步发现它们变成了一个完全由截断误差诱导的阵发混沌系统。系统中存在一种回转机制，周期Ty(2,1,1)的轨道点对于过焦系统而言是一对对偶吸引排斥子，具有非双曲特性，截断误差在非双曲不动点局域拓朴地扩展维度，从而产生逃逸机制并导致阵发混沌[4]。

另外由于周期Ty(2,1,1)在切延迟操作m=0下也是不稳定的，所以不象周期Tx(2,1,1)，随着切延迟量m增大，系统表现出的不稳定性并不明显推迟。

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图2取相同的初始条件μ=0.8,x0=0,n=250，周期2轨道Ty(2,1,1)在切延迟分别为m=0,1,2,10,21,31时的数字计算结果

3.正则周期3轨道和正则周期4轨道

文献[2]证明了切延迟m为3的倍数时，采用第一类过渡态，正则周期3轨道存在。也已经知道有4个关于坐标轴对称的正则周期3轨道，分别是关于x轴和y轴的对称的等腰三角形，表示为Tx(3,1,±1)和Ty(3,1,±1)，例如关于y轴对称的一个正则周期3的轨道点为

其中，采用第

一类过渡态，分别取切延迟m=0，m=1，m=3，m=6，m=9和m=21对这个周期3进行数值迭代，用前250个轨道点作图，如图3所示。从图中可看出，切延迟操作m=