动态规划算法的常见实例 .pdfVIP

动态规划算法的常见实例

动态规划算法是一种将复杂问题分解为简单子问题来解决的算

法，它可被应用于多个领域中，如经济学、生物学、计算机科学

等。在本文中，我们将详细讨论动态规划算法的常见实例。

一、最长公共子序列问题

最长公共子序列（LCS）问题是一个经典的计算机科学问题，

它要求在两个字符串中找到最长的相同连续子序列。例如，对于

字符串“ABCD”和“ACDF”，最长公共子序列为“ACD”。

使用动态规划方法来解决LCS问题。首先定义一个m行n列

的二维矩阵，其中m和n分别表示两个字符串的长度。然后，使

用以下递推关系：

1.如果一个字符串的长度为0，LCS为0。

2.如果两个字符不相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它

们的后一个字符集合的最大值。

3.如果两个字符相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们

的后一个字符集合所组成的子序列中的最大值加1。

最后，矩阵右下角的值就是LCS的长度。

二、背包问题

背包问题（Knapsackproblem）是一个经典的组合优化问题，

被广泛应用于计算机科学和其他领域。在一个决策者必须决定是

否将某些物品放入背包中的场景中，背包问题就发挥了作用。

具体来说，我们要解决的问题是：对于一个固定容量的背包，

有一些物品，它们的重量和价值都不同，如何在不超过背包容量

的前提下，使所装载物品的总价值最大化。

一种解决方案是使用动态规划方法。定义一个二维数组，其行

表示物品，列表示背包大小。然后，使用以下递推关系：

1.如果所考虑的物品重量大于背包容量，则不选此物品。

2.否则，在选取该物品和不选该物品两种情况中选择最优解作

为最终结果。

最后，矩阵中右下角的值就是最大的总价值。

三、矩阵链乘法

矩阵链乘法是一种计算矩阵乘积的优化算法。它使用动态规划

算法来确定矩阵乘积的最小值。

对于一个长度为n的矩阵链，我们可以定义一个n×n的矩阵M，

其中第i行第j列的元素Mi，j表示第i个矩阵与第j个矩阵相乘

的最小次数。然后，使用以下递推关系：

1.当i=j时，Mi，j=0。

2.对于ij，Mi，j=min(Mi，k+Mk+1，j+A(i-1)*AkAj)k=i到j-1。

其中AkAj表示第k个矩阵的维度，A0是第一个矩阵的维度。

最后，M1，n就是所要求的最小矩阵乘积的次数。

四、钢条切割问题

钢条切割问题是一种经典的计算机科学问题，它涉及切割定长

的一组钢条以获得最多的利润。这个问题被广泛应用于金融学和

其他领域。

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划算法。定义一个数

组p，其中p[i]表示长度为i的钢条的价格。然后，使用以下递推

关系：

1.如果钢条长度为0，则其价格为0。

2.对于一个长度为i的钢条，可以对其进行切割得到两部分钢

条，它们的长度分别为j和i-j（其中ji）。因此，其最大收益为

max(p[i],r[j]+r[i-j])，其中r[i]表示长度为i的钢条的最大收益。

最后，r[n]就是长度为n的钢条的最大收益。

结论

以上是动态规划算法的常见实例。虽然这些例子看似千差万别，

但它们用到了相同的算法思想。通过将大问题减少为小问题并解

决它们，我们可以找到最优解。动态规划算法可以帮助我们优化

解决方案，并在非常优化解决方案和资源分配方面发挥重要作用。