《两角和与差的正弦、正切公式及其应用》同步学案 (1).docVIP

高中数学精选资源

PAGE1/NUMPAGES11

《两角和与差的正弦、正切公式及其应用》同步学案

问题情境导入

上一节我们学习了两角和与差的余弦公式，利用该公式可以解决许多三角变换问题，给三角运算带来了方便，那么对于两角和与差的正弦、正切，如，，等，如何用两个角的正弦、余弦来表示呢？如何进一步对其进行求值呢？是否成立？如果不成立，如何求的值？这需要我们研究两角和与差的正弦、正切公式.

新课自主学习

自学导引

1.两角和与差的正弦公式.

_____，

_____.

2.两角和与差的正切公式.

_____;

_____.

从推导过程可以知道，均有一定的取值范围，即

，

，

，

这样，才能保证及都有意义.

3.公式通常叫作_____，而公式通常叫作_____.

答案

1.

2.

3.和角公式差角公式

预习测评

1.已知，则的值等于（）

A.

B.

C.

D.

2.计算的结果等于（）

A.

B.

C.

D.

3.若，则等于（）

A.

B.

C.3

D.

4.已知，则等于（）

A.2

B.1

C.

D.4

答案

1.

答案:D

解析：，

.

2.

答案：A

解析.

3.

答案：A

解析：.

4.

答案：C

解析：因为，所以，即.

新知合作探究

探究点1两角和与差的正弦公式

知识详解

名称

公式

简记符号

使用条件

两角和

的正弦

两角差

的正弦

[特别提示]

（1）公式的推导，可以用替换公式中的得到，也可以将转化为，再利用两角和的余弦公式得到.

（2）两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，加减相同”

①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“加减相同”是指展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”，两角差时用“-”；

③两角和与两角差的正弦公式只有中间的连接符号不同.

（3）和S主公式中的是任意的角，若中有一个是的整数倍时，利用诱导公式较为简便

（4）一般情况下，.

典例探究

例1已知，为第二象限角，为第三象限角，求和的值解析通过同角三角函数的基本关系式求出两角的正弦值、余弦值，然后利用两角和与差的正弦公式计算即可.

答案，为第二象限角，.，为第三象限角，.

，

.

变式训练1（1）已知角的终边经过点，则的值为（）

A.

B.

C.

D.

（2）等于（）

A.

B.

C.

D.1

答案（1）C（2）C

点拨（1）因为角的终边经过点，

所以，

所以.

（2）.

方法归纳两角和与差的正弦公式的一般使用方法：

（1）正用：把公式从左向右展开.

（2）逆用：公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时，要用相关公式调节后再逆用.

探究点2两角和与差的正切公式

知识详解

名称

公式

简记符号

使用条件

两角和

的正切

两角差

的正切

[特别提示]

（1）两角和与差的正切公式中，均不等于，这是由正切函数的定义域决定的.

（2）当或的值不存在时，不能使用两角和与差的正切公式解决问题，但可改用诱导公式或其他方法解题.例如化简时因为的值不存在，所以不能利用公式进行化简，应改用同角三角函数的关系式和诱导公式来化简，

.

（3）两角和与差的正切公式变形形式较多，利用这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的.

例如:

，

.

此外，应用两角和与差的正切公式时，还要注意一些常值代换，例如等.

典例探究

例2（1）若，且，则等于

A.

B.

C.

D.7

（2）的值等于_____.

解析（1）由且，

得，

所以.

（2）原式.

答案（1）C（2）

变式训练2（1）在中，，则的值是（）

A.1

B.

C.2

D.

（2）已知角均为锐角，且，则_____.

答案（1）B（2）3

点拨（1）因为，

所以.

又，

所以.

（2）因为角为锐角，且，所以.

又，

所以.

易错易混解读

例设均为锐角，求的值.

错解因为，

所以.

又因为，

所以.

因为，故，故或.

错因分析本题出错的原因是确定待求角的取值范围过大，导致增解.

正解因为，

所以.

又因为，

所以.

因为，且均为锐角，

所以，故，故.

纠错心得已知三角函数值求角时，要先根据待求角的范围确定要求的三角函数的名称，原则上选择单调函数，必要时应根据三角函数值进一步缩小待求角的范围，这是求角时常用的技巧.

课堂快速检测

1.已知，则的值为（）

A.

B.0

C.1

D.

2.已知，则的值为（）

A.1

B.2

C.

D.不确定

3.化简等于（）

A.

B.

C.

D