高等数学（第二版）课件：微分中值定理及导数的应用.ppt

当函数的自变量从改变一个单位（即）时，函数的增量为，但当改变的“单位”非常小时，或的“一个单位”与值相比非常小时，则有近似式此式表明：当自变量在处产生一个单位的改变时，函数的改变量可近似地用来表示。在经济学中，在解释边际函数值的实际意义时，通常略去了“近似”这二字。2.边际成本我们把每单位产品所承担的成本费用定义为平均成本函数，即即当边际成本等于其平均成本时，其平均成本达到最小。成本函数（是产量）的导数称为边际成本函数。得到注意到可以被描述为该函数曲线上的一点与原点间连线的斜率。此外在处无定义，表明生产数量为零时，讨论平均成本是毫无意义的。又由例1设月产量为单位时，总成本函数为求最低平均成本和相应产量的边际成本。解平均成本为令，得驻点为（元）又由于，故是的极小值点，也是它的最小值点。因此当月产量为140单位时，平均成本最低，其最低平均成本为（元）边际成本函数为故当产量为140单位时，边际成本为（元）3.边际收入与边际利润收入函数利润函数若假定市场上某产品销售量为时，相应产品所定的价格为，则称为价格函数，通常为的递减函数。于是收入函数的导数称为边际收入函数，利润函数的导数称为边际利润函数。解假设销售了件价格为的产品，其收入函数 ，将需求函数即代入，得到总收入函数例2设产品的需求函数为，求需求量 时，产品的总收入、平均收入和边际收入。则平均收入函数为其边际收入函数为定理1设函数在区间内可导，那么（1） 如果时，，则在内单调增加；（2） 如果时，，则在内单调减少。证：任取，且，则由拉格朗日中值定理有(2)如果时，，则，即(1)如果时，，则，即所以函数在内单调减少。所以函数在内单调增加。例1讨论函数的单调区间。解：因为令得用这两点把定义域划分成区间，及，其讨论结果列表如所以，函数在和内单调增加，在内单调减小。例2 证明当时。证：由于考虑函数，只要证明（）即可。即当时，，因此在内单调递增。又因为，所以（），故综上所述，求函数增减区间的步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2） 求出单调区间所有可能的分界点（的间断点，及不存在的点），并由分界点分割定义域为相应小区间；（3） 判断一阶导数在各区间内的符号，从而判断函数在各区间内的单调性。第四节曲线的凹向与拐点微分中值定理及导数的应用在研究函数曲线的变化时，我们不仅要了解函数的单调性，还必须研究曲线在上升和下降过程中的弯曲情况。例如和在时，曲线都是单调增加的，但它们的图形却是差别很大。曲线位于它的每一点的切线的上方，其图形是上凹的。而则位于它的每一点的切线的下面，其图形是下凹的。定义如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如图(a)；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一