高等数学（第二版）课件：无穷级数.ppt

例2求幂级数的收敛半径和收敛域。解：记，则有故收敛半径为，收敛域为。例3求幂级数的收敛半径和收敛域。解记，则有故收敛半径为，收敛域为0。例4求幂级数的收敛半径和收敛区间。解记，则有故收敛半径为，收敛区间为，即。三、幂级数的运算与性质1．幂级数的运算设幂级数与的收敛半径分别为与。记，则在内有(1)(2)其中。值得注意的是，两个幂级数相加减或相乘的幂级数，其收敛半径2．和函数的性质则幂级数的和函数有如下性质设幂级数的收敛半径为，和函数为，即(1)（连续性）在内连续，且当在（或）处收敛时，在处左连续（或在处右连续）。(3)（逐项积分）在内任何子区间上可积，并可逐项积分，即(2)（逐项微分）在内可导，并可逐项求导，即且逐项求导后得到的幂级数与原幂级数的收敛半径相同。且逐项积分后得到的幂级数与原幂级数的收敛半径相同。解：所给幂级数的系数故收敛半径为，收敛区间为(-1,1)。由于几何级数所以例5求幂级数的收敛区间与和函数。且，所以由逐项微分的性质，当时，解：所给幂级数的系数例6求幂级数的收敛区间与和函数。故收敛半径为，收敛区间为(-1,1)。设=由逐项微分公式，当时有，又，所以即对上式两端从0到x积分，得一、泰勒级数二、函数用直接法展开成幂级数第五节函数展开为幂级数无穷级数三、函数用间接法展开成幂级数一、泰勒级数在上节中，我们研究了求幂级数在收敛区间内的和函数的问题。但在一些实际问题中，往往需要研究它的反问题。即将一个已知函数在某一区间内用一个幂级数表示。就是说，能否找到这样一个幂级数，它在某一区间内收敛，且和函数恰好是给定的函数？若能找到这样的幂级数，就称函数在该区间内能展开成幂级数，称该幂级数为函数的幂级数展开式。若函数在点的某一邻域内具有阶的导数，则在该邻域内的阶泰勒公式成立，其中为拉格朗日余项：这里是介于与之间的某一点。来近似表示，并且其误差为。如果随着的增大而减小，那么我们就可以用增加多项式的次数来提高用来逼近的精度。可以用次多项式例1 设，求在点处的1次、2次、4次、6次、8次泰勒多项式。解：因此在处的2次泰勒多项式为再有，所以在处的1次泰勒多项式为相应地在处的4次、6次、8次泰勒多项式为由上述的讨论可以看到每一个都比前一个在附近能更好地逼近，且每个更高次泰勒多项式都包含了之前的所有的低次泰勒多项式，为此引进泰勒级数。如果在点的某邻域内具有任意阶导数，并记，构造幂级数称此级数为函数在点的泰勒级数。若上式在的某个邻域内的和函数恰好为，则称在处可展成泰勒级数（也称为关于的幂级数）。定理1设函数在点的某一邻域内有任意阶导数，且在点的泰勒级数公式为则在点的某个