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北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期数学统练4

一．选择题（共10小题）

1．复数满足，则（）

A．1 B． C．2 D．

2．已知集合，则等于（）

A． B． C． D．

3．下列函数中，在定义域上为增函数且为奇函数的是（）

A． B． C． D．

4．已知两个向量，且，则的值为（）

A．1 B．2 C．4 D．8

5．在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（）

A．若，且，则 B．若，且，则

C．若，则 D．若，且，则

6．已知向量与向量的夹角为，则（）

A．3 B． C． D．1

7．在中，“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成．这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（）的（细管长度忽略不计）．假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．这个沙堆的高与圆锥的高的比值为（）

A． B． C． D．

9．已知某种垃圾的分解率为，与时间（月）满足函数关系式（其中为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为，经过24个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（）（参考数据：．）

A．48个月 B.52个月 C．64个月 D．120个月

10．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点，（在的左边），且．下列说法不正确的是（）

A．当运动时，二面角的最小值为

B．当运动时，三棱锥体积不变

C．当运动时，存在点使得

D．当运动时，二面角为定值

二．填空题（共5小题）

11．函数的定义域是________．

12．在中，，则的面积为________．

13．在等比数列中，，则公比________；若，则的最大值为________．

14．已知等边的边长为分别是的中点，则________；若是线段上的动点，且，则的最小值为________．

15．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质．

（1）下列函数中具有性质的有________

①；

②；

③；

④．

（2）若函数具有性质，则实数的取值范围是________．

三．解答题（共2小题）

16．在中，．

（1）求；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．

条件①：；

条件②：边上的高为2；

条件③：．

注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分．

17．已知函数，

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证，当时，；

（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．

北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期数学统练4

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．D．

2．A．

3．B．

4．C．

5．B．

6．B．

7．A．

8．A．

9．B．

10．C．

二．填空题（共5小题）

11．．

12．．

13．，3．

14．2；．

15．解：（1）在时，有解，即函数具有性质，

①令，即，

，故方程有一个非0实根，故具有性质；

②的图象与有交点，

故有解，故具有性质；

③令，此方程无解，

故不具有性质；

④的图象与有交点，

故有解，故具有性质；

综上所述，具有性质的函数有：①②④，

（2）具有性质，显然方程有根，

的值域为，

，

解之可得：或．

故答案为：①②④；（2）或

三．解答题（共2小题）

16．解：（1）解：由中，，且，

可得，所以，

因为，所以．

（2）解：若选择条件①：，

由正弦定理且，可得，

又由余弦定理，可得，

解得，

所以，

所以存在且唯一确定，此时的面积为．

若选条件②：边上的高为2，

因为，可得，

由余弦定理，可得，解得，

此时存在但不唯一确定，不符合题意．

若选条件③：，

因为，由正弦定理得，

又由余弦定理，可得，

因为，代入解得，所以，

所以存在且唯一确定，此时的面积为．

17．解答：（1）因为所以

又因为，所以曲线在点处的切线方程为．

（2）证明：令，则，

因为，所以在区间上单调递增．

所以，

即当时，．

（3）由（2）知，当时，对恒成立．

当时，令，则，

所以当时，，因此在区间上单调递减．

当时，，即．

所以当时，并非对恒成立．

综上所知，的最大值为2．