专题3-3 椭圆离心率及其范围11类题型汇总（解析版）-.docxVIP

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专题3-3椭圆离心率及其范围11类题型汇总

总览

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题型解读

TOC\o1-3\n\h\z\u【题型1】结合正余弦定理求离心率

【题型2】利用对称性补成平行四边形

【题型3】双焦点三角形模型之导边

【题型4】余弦定理用2次型

【题型5】结合几何性质求值

【题型6】与向量结合求离心率

【题型7】由齐次式方程求离心率

【题型8】点差法与离心率

【题型9】椭圆的第三定义与离心率

【题型10】设点运算求值问题

【题型11】求离心率范围

题型

题型汇编

知识梳理与常考题型

【题型1】结合正余弦定理求离心率

若已知焦点三角形中某个角可以考虑结合正余弦定理求其它量

已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，，△的内切圆与外接圆的半径分别为，，若，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【解答】解：设，则．

因为，

所以，

则，则．

由等面积法可得，

整理得，

因为，所以，故．

已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________.

【答案】

【解析】设关于平分线的对称点为Q，

则三点共线，

设，则，

又，所以在中，由余弦定理有：

，即

由椭圆定义可知，可得

所以

在中，由余弦定理可得：

，

即，所以，

所以.

【巩固练习1】如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是.

【答案】

【分析】根据椭圆的定义、余弦定理等知识求得，从而求得的面积.

【详解】由已知，得，

则，，

在中，由余弦定理，得，

所以，

由，得，

所以，化简解得，

所以的面积为.

【巩固练习2】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.

详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,

由斜率为得，，

由正弦定理得,

所以

【巩固练习3】设椭圆的焦点为，直线l过且和椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为

【答案】

【分析】利用椭圆的定义列方程，再利用余弦定理求得离心率.

【详解】设，由椭圆的定义得，解得

令椭圆焦距为c，在和中，由余弦定理得，

整理得，

所以椭圆C的离心率为.

故答案为：

【题型2】利用对称性补成平行四边形

椭圆具有中心对称性，若遇到焦点三角形为直角三角形或者两条焦点弦平行时可以考虑通过对称性补成平行四边形来解题

已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为

A． B． C． D．

【答案】

【解答】解：设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，

则，且由，可得，

所以，则，

由余弦定理可得，

即，

椭圆的离心率，

已知椭圆的左，右焦点分别为，过原点的直线与相交于，两点，若且，则椭圆的离心率为．

【答案】

【详解】因为过原点的直线与相交于，两点，,故四边形为矩形，故，又，，

所以，则，

又，

即，且，

解得，（由于，故舍去）

结合，故，即

又，

因此，故，解得，

故答案为：

已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点．在中，，且满足，则椭圆的离心率为．

【答案】

【分析】设椭圆的左焦点为，连接，，根据对称性可知四边形为平行四边形，即可得到，再由余弦定理及椭圆的定义求出，即可求出，最后由得到关于的方程，解得即可.

【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，根据对称性可知四边形为平行四边形，

又，所以，

又，

又，，

即，

，

所以，

所以，

即，

所以，解得或．

又因为，所以．

故答案为：

【巩固练习1】已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆的对称性可知，就是到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求的值.

【详解】设，如图，记为的左焦点，连接，

则由椭圆的对称性可知，由，设，则.

又轴，所以，即，

所以，解得.

所以的长轴长为.

【巩固练习2】（高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理构造齐次式即可得解.

【详解】如图，设椭圆的左焦点为，

由椭圆的对称性可得，

所以四边形为平行四边形，

又，所以四边形为矩形，所以，

由，得，

又，所以，

在中，由，

得，即，