高等数学笔记-简略.doc

3.柯西收敛准则：数列{x}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数ε，都存

n

在正整数N，使得当m，nN时，有|x-x|ε。

m

n

高等数学

1.3函数的极限

性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。

高中公式

三角函数公式

和差角公式

判别法则：

1.夹逼法则：若

?

?

，且存在x0的某一去心邻域

A

limf(x)limh(x)

和差化积公式

x?x0

x?x0

???

???

sin(???)?sin?cos??cos?sin?

cos(???)?cos?cos?sin?sin?

sin??sin

??

2sin

cos

o

o

2

2

U(x,?)，使得?x?U(x,?)，均有f(x)≤g(x)≤h(x)，则limg(x)?A。

0

0

??????

x?x0

tg??tg?

sin??sin??2cos

cos??cos??2cos

cos??cos??-2sin

sin

tg(???)?

2.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。

3.柯西收敛准则：函数f(x)收敛的充要条件是：?ε0,?0,?x’,x’’∈

2

2

1

tg??tg?

ctg??ctg?

ctg??ctg?

???

???

,

U(x,?)

cos

1

ctg(???)?

2

2

有|f(x’)-f(x’’)|ε。

??????

sin

2

2

4.海涅(Heine)归结原则：

limf(x)?A

的充要条件是：对于任何满足

积化和差公式

倍角公式

x?x

2tan?

sin2??2sin?cos??

1?tan2?

limx?x的数列{x}，都有limf(x)?A。

n

n0n

1

n??

n??

sin?cos??[sin(???)?sin(???)]

cos2??2cos2??1?1?2sin2?

2

归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个

收敛于该点的自变量x的数列{x}，而相应的函数值数列{f(x)}却不收敛；或

1?tan2?

1

?cos2??sin2??

n

n

cos?sin??[sin(???)?sin(???)]

1?

tan2?

者选出两个收敛于该点的数列{x},{x’}，而相应的函数值数列{f(x)},{f(x)}

nnnn

2

却具有不同的极限。

2tg?

ctg2??1

2ctg?

1

tg2??

ctg2??

cos?cos??[cos(???)?cos(???)]

1.4无穷小与无穷大

1?tg2?

2

1

sin3??3sin??4sin3?

sin?sin???[cos(???)?cos(???)]

??

?

0

0

?(x)

?(x)

2

cos3??

4cos3??

3cos?

若lim

?l，当

时，则称x→x0时称α(x)是β(x)的

l

??

x?x

3tg??tg3?

1?3tg2?

?

tg3??

?

?1

半角公式

?高阶无穷小，记作?(x)?o(?(x))

?

?

1?cos?cos?

1?cos?

?同阶无穷小，记作?(x)?O(?(x))

sin??

??

?

2

2

2

2

等阶无穷小，记作?(x)~?(x)

?

?

1?cos?1?cos?

sin?

tg??

?

?

常用等价无穷小

2

1?cos?

sin?

1?cos?

sinx?tanx?arcsinx?arctanx?e?1?ln(1?x)~x

x

?

1?cos?1?cos?

sin?

ctg??

?

?

1

2

1?cos?

sin?

1?cos?

1?cosx~

x

2

?(1?x)

a

?1~ax?a

x

?1~xlna

2

1

1

V

棱柱

=SHV

棱锥3SHV

=

棱台=H(S+SS?+S?)

1

2

3

若f(x=0),f’(0)≠0,则f(t)dt

?

x

f?(0)x

2

0

球的表面积：4πR2球的体积：4

椭圆面积：πab椭球的体积：4

确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式

1.5连续函数

?R

3

?abc

3

3

极限存在?左右极限存在且相等。

第1章极限与连续

连续?左右极限存在且相等，且等于该点函数值。

简断点：1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2.

左右极限至少有一个