专题3-9 抛物线与直线联立韦达化运算（解析版）-A4.docxVIP

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专题3-9抛物线与直线联立韦达化运算

总览

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题型解读

TOC\o1-3\n\h\z\u【题型1】焦点弦中点相关运算与证明

【题型2】向量数量积的处理

【题型3】过焦点的直线与抛物线联立韦达化计算

【题型4】不过焦点的直线与抛物线联立计算

【题型5】垂直关系的处理

【题型6】弦长公式与面积计算

【题型7】抛物线中三角形与四边形面积最值问题

【题型8】抛物线中的定点与定值问题

题型

题型汇编

知识梳理与常考题型

直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式

①抛物线的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则有.

②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么

.

【题型1】焦点弦中点相关运算与证明

已知抛物线的焦点为F，直线与该抛物线交于A、B两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则．

【答案】

【分析】先求出的纵坐标，再联立直线与抛物线方程表示的纵坐标，故可求斜率.

【详解】易知设，

因为，故，故，而，故,故，

联立直线与抛物线方程得，，

所以的纵坐标，故

直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．

【答案】(3,2)

【解析】将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，

eq\f(x1＋x2,2)＝3，∴eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(x1＋x2－2,2)＝eq\f(6－2,2)＝2.∴所求点的坐标为(3,2)

已知抛物线的焦点为F，直线与该抛物线交于A、B两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则．

【答案】

【分析】先求出的纵坐标，再联立直线与抛物线方程表示的纵坐标，故可求斜率.

【详解】易知设，

因为，故，故，而，故,故，

联立直线与抛物线方程得，，

所以的纵坐标，故

已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交于两点．若为线段的中点，且，则．

【答案】

【分析】直线的斜率存在，可设为，与抛物线方程联立得到韦达定理，求出点坐标，利用求解，再结合抛物线定义得到结果.

【详解】设，，，显然当直线垂直于轴时，与重合，

此时不满足条件，所以可设直线的方程为，

代入的方程有，，

所以，，，

所以，解得，，

由抛物线的几何性质可知，，所以．

设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x＋m与抛物线W相交于A，B两点，点Q为线段AB的中点．

(1)求m的取值范围；(2)求证：点Q的纵坐标为定值．

【答案】(1)m＜1，(2)Q的纵坐标为定值2

【解析】(1)直线l：y＝x＋m与抛物线W联立得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，

∴Δ＝(2m－4)2－4m2＞0，解得m＜1.

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2，则点Q的纵坐标为

eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(x1＋m＋x2＋m,2)＝2.∴点Q的纵坐标为定值2.

物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程．

【答案】y2＝4x或y2＝－4x

【详解】解：如图，依题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，

则直线方程为y＝－x＋eq\f(1,2)p.

设直线交抛物线于A(x1，y1)，

B(x2，y2)，

过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则由抛物线定义，得

|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)，

即x1＋x2＋p＝8.①

又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋\f(1,2)p，,y2＝2px，))消去y，得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.

所以x1＋x2＝3p，②

将②代入①，得p＝2.

所以抛物线的标准方程为y2＝4x.

当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线标准方程为y2＝－4x.

故抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x.

【题型2】向量数量积的处理

数量积一般化为过坐标运算的形式，再韦达化处理

（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（???）

A． B． C．4 D．12

【答案】B

【分析】联立直线与抛物线方程求得，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解.

【详解】由，得，易得，

设，则，

.

（高二上·四川成都·期末）已知抛物线上的两点A，B满足（O为