1.2-1.3空间向量的基本定理及坐标运算-重点强化提升讲义-2025年习高三数学一轮复习（原卷版）.docx

1.2-1.3空间向量的基本定理及坐标运算

知识

知识归纳

1.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。

2.空间向量的直角坐标系：

（1）空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。

注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z）

（3）空间向量的直角坐标运算律：

①若，，则，

，，

，

，

。

②若，，则。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

③定比分点公式：若，，，则点P坐标为。推导：设P（x,y,z）则,显然，当P为AB中点时，

④，三角形重心P坐标为

⑤ΔABC的五心：

内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）

外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。

垂心P：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）

重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）

中心：正三角形的所有心的合一。

（4）模长公式：若，，

则，

（5）夹角公式：。

ΔABC中①=A为锐角②=A为钝角，钝角Δ

（6）两点间的距离公式：若，，

则，

或

3.空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。

（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。

（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。

（4）空间向量数量积的性质：

①。②。③。

（5）空间向量数量积运算律：

①。②（交换律）。

③（分配律）。

④不满足乘法结合率：

考点讲解

考点讲解

题型一：空间向量的基本定理

1．（2024·山东·模拟预测）已知平行六面体的各棱长均为，，则（????）

A． B． C． D．

2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（????）

??

A． B． C． D．

3．（多选）（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（）

A． B．

C． D．

4．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为.

题型二：空间向量的坐标表示

1．（2024·河南·模拟预测）已知空间向量，若共面，则实数（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（????）

A． B． C． D．

3．（2024·江苏苏州·模拟预测）空间内四点，，，D可以构成正四面体，则点D的坐标是．

4．（2024·安徽芜湖·三模）在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则四面体的外接球的体积为．

题型三：空间向量坐标的运算

1．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（????）

A． B．

C． D．

2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

3．（多选）（2024·江苏苏州·二模）图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是线段AC，上的动点，，，且.记与所成角为，与平面所成角为，则（????）

????

A．当时，四面体的体积为定值

B．当时，存在，使得平面

C．对于任意，，总有

D．当时，在侧面内总存在一点P，使得

4．（2024·河南郑州·一模）如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是．

题型四：空间向量模长的坐标表示

1．（2024·西藏日喀则·一模）已知向量，若与垂直，则（????）.

A． B． C． D．

2．（2023·全国·模