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2010-2023历年江苏省南京市高三学情调研理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共20题)

1.已知无穷数列中，、?、、构成首项为2，公差为－2的等差数列，、、、，构成首项为，公比为的等比数列，其中，.

（1）当，，时，求数列的通项公式；

（2）若对任意的，都有成立．

①当时，求的值；

②记数列的前项和为．判断是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

2.已知集合，集合，则??????????.

3.解不等式.

4.在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求实数、的值．

5.在锐角中，、、所对的边分别为、、．已知向量，

，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

6.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.

7.已知四边形是矩形，，，是线段上的动点，是的中点．若为钝角，则线段长度的取值范围是?????????????.

8.已知函数（为常数）．

（1）当时，求的单调递减区间；

（2）若，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

9.如图，已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为?????????.

10.已知点在不等式表示的平面区域上运动，则的最大值是??????.

11.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.

12.曲线在点处的切线方程是????????????.

13.在底面边长为2，高为1的正四梭柱ABCD=A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点．

（1）求异面直线A1E，CF所成的角；

（2）求平面A1EF与平面ADD1A1所成锐二面角的余弦值．

14.命题“”的否定是??????????.

15.在等差数列中，，则数列的前项和??????????.

16.口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为??????????.

17.已知复数满足（为虚数单位），则????????.

18.如图，、是圆的半径，且，是半径上一点：延长交圆于点，过作圆的切线交的延长线于点.求证：.

19.设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为??????????.

20.将编号为1，2，3，4的四个小球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记为四个小球得分总和．

（1）求时的概率；

（2）求的概率分布及数学期望．

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：（1）数列的通项公式为；

（2）①的值为或；②详见解析.试题分析：（1）根据数列的定义求出当时数列的通项公式，注意根据的取值利用分段数列的形式表示数列的通项；（2）①先确定是等差数列部分还是等比数列部分中的项，然后根据相应的通项公式以及数列的周期性求出的值；②在（1）的基础上，先将数列的前项和求出，然后利用周期性即可求出，构造，利用定义法求出的最大值，从而确定和的最大值，进而可以确定是否存在，使得.

试题解析：（1）当时，由题意得，?????????????????2分

当时，由题意得，???????????????????4分

故数列的通项公式为???????????????5分

（2）①因为无解，所以必不在等差数列内，

因为，所以必在等比数列内，且等比数列部分至少有项，

则数列的一个周期至少有项，??????????????????????????7分

所以第项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内，

若时，则，得，

若，则，得，

故的值为或????????????????????????????????9分

②因为，，

所以，??????????????12分

记，则，

因为，所以，即，??????????14分

故时，取最大，最大值为，

从而的最大值为，不可能有成立，故不存在满足条件的实数????16分

考点：等差数列和等比数列的通项公式及前项和、数列的周期性、数列的单调性

2.参考答案：或试题分析：，，.

考点：集合的交集运算

3.参考答案：试题分析：先构造函数，去绝对值，将函数的解析式利用分段函数的形式求出，将问题转化为分段不等式进行求解.

试题分析：令，

当时，，，则，

此时恒成立；??????????????????????????