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三套硕士研究生入学统考数学试题解析
12年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）
【答案】：
【解析】：，所以为垂直的
，所以为水平的，没有斜渐近线故两条选
（2）
【答案】：
【解析】：
所以
（3）
【答案】：
【解析】：由于在处连续，可知如果存在，则必有
这样，就可以写成，也即极限存在，可知，也即。由可微的定义可知在处可微。
（4）
【答案】：(D)
【解析】：看为以为自变量的函数，则可知，即可知关于在上为单调增函数，又由于，则，故选D
（5）
【答案】：（C）
【解析】：由于，可知线性相关。故选（C）
（6）
【答案】：（B）
【解析】：，则，
故
故选（B）。
（7）
【答案】：（A）
【解析】：的联合概率密度为
则
（8）【答案】：
【解析】：设两段长度分别为，显然即，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）
【答案】：
【解析】：特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。
故
（10）
【答案】：
【解析】：令得
（11）
【答案】：
【解析】：
（12）【答案】：
【解析】：由曲面积分的计算公式可知，其中。故原式
（13）
【答案】：
【解析】：矩阵的特征值为，故的特征值为。又由于为实对称矩阵，是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即。
（14）
【答案】：
【解析】：由条件概率的定义，，
其中，
，由于互不相容，即，，又
，得，代入得，故.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）
【解析】：令，可得
当时，有，，所以，
故，而，即得
所以。
当，有，，所以，
故，即得
可知，
（16）
【解析】：，
先求函数的驻点.，解得函数为驻点为.
又，
所以，故在点处取得极大值.
（17）
【解析】：
（18）
【解析】：（1）曲线在任一处的切线斜率为，过该点处的切线为，令得.由于曲线与轴和轴的交点到切点的距离恒为.
故有，又因为
所以，两边同时取不定积分可得，又由于，所以.故函数.
（2）此曲线与轴和轴的所围成的无边界的区域的面积为：
.
（19）
【解析】：设圆为圆,圆为圆，下补线利用格林公式即可，设所补直线为,下用格林格林公式得：原式
（20）
【解析】：（Ⅰ）
（Ⅱ）
可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知。
此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为
线性方程组存在2个不同的解，有.
即：，得或-1.
当时,，显然不符，故.
（21）
【解析】：1）由可得，
2）
则矩阵
解得矩阵的特征值为：
对于得对应的特征向量为：
对于得对应的特征向量为：
对于得对应的特征向量为：
将单位化可得：
，，
（22）
【解析】：
X
0
1
2
P
1/2
1/3
1/6
Y
0
1
2
P
1/3
1/3
1/3
XY
0
1
2
4
P
7/12
1/3
0
1/12
（1）
（2）
，其中
,
所以，，，,.
（23）
【解析】：（1）因为，且与相互独立，故，
所以，的概率密度为
（2）似然函数
解得最大似然估计值为，
最大似然估计量为
（3）
故为的无偏估计量。
15年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）真题解析
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)下列反常积分收敛的是()
(A)(B)(C)(D)
【答案】(D)
【解析】，则.
(2)函数在内()
(A)连续
(B)有可去间断点
(C)有跳跃间断点
(D)有无穷间断点
【答案】(B)
【解析】，，故有可去间断点.
(3)设函数,若在处连续则:()
(A)(B)
(C)(D)
【答案】(A)
【解析】时，
时，
在处连续则：得
得：，答案选择A
(4)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为()
(A)(B)(C)(D)
【答案】(C)
【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.
(5)设函数满足，则与依次是
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