天津市第二南开学校2024-2025学年高三上学期期中质量调查数学试卷[含答案].docx

第二南开学校2024-2025学年度第一学期高三年级

数学学科期中质量调查

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．

考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！

第Ⅰ卷（选择题共45分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．

3．本卷共9小题，每小题5分，共45分．

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.若，则的一个充分不必要条件是

A B. C. D.

3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）

A. B. C. D.

4.已知，，则在上的投影向量为（）

A. B. C. D.

5.设，，，则，，的大小关系为（）

A. B. C. D.

6.的展开式中含项的系数为（）

A20 B.-20 C.30 D.-30

7.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（）（参考数据：）

A.万年 B.117万年 C.万年 D.205万年

8.已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（）

A. B. C. D.

9.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（）

A.0 B.1 C.2 D.3

第Ⅱ卷（非选择题共105分）

注意事项：

1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效．

2．本卷共11题，共105分．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

10.若复数，则__________.

11.若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.

12.从，，，2，3，4，6，9中任取两个不同数，分别记为，，记“”，则______.

13.已知矩形中，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为______．

14.已知，则最小值是______．

15.在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是___________.

三、解答题(本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.为迎接2022年北京冬奥会，某校组织一场冰雪运动知识竞赛，规则如下：有A，B两类问题，每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束，若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分.小明参加了本次冰雪知识竞赛，已知他能正确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明选择先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

17.已知函数的最大值为2，且，．若，且．

（1）求的解析式；

（2）求的单调递增区间；

（3）求的零点．

18.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若，为边上一点，，，求的面积.

19.如图，在直三棱柱中，，，点，分别在棱，上，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）当三棱柱的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.

20.设函数，其中是自然对数的底数.

（1）当时，求函数的极值.

（2）若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围.

（3）设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

第二南开学校2024-2025学年度第一学期高三年级

数学学科期中质量调查

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．

考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！

第Ⅰ卷（选择题共45分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的