江苏省南京市中华中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷.docx

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江苏省南京市中华中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知，，若，则的最大值为（???）

A．-2 B． C．0 D．1

2．已知，，则（???）

A． B． C． D．

3．已知向量，，若，则（???）

A． B．0 C．1 D．2

4．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（???）

A．1 B．2 C． D．

5．已知，是方程的两根，则（???）

A． B． C． D．43

6．已知等差数列的前和为Sn，，，则（???）

A． B． C． D．

7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过上顶点和右焦点的直线与椭圆的另一个交点为，且的面积为，则的周长为（???）

A．4 B． C． D．

8．已知函数的导函数为，当时，，则下列结论一定正确的是（???）

A． B．

C．在上单调递减 D．当时，

二、多选题

9．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（???）

A．与为互斥事件 B．与相互独立

C． D．

10．已知三棱锥中，面，，且，为的中点，为线段上一点，则（???）

A．

B．平面平面

C．异面直线与所成角的余弦值为

D．三棱锥与三棱锥外接球球心之间的距离为

11．已知曲线，称曲线上的点为“边线点”，曲线称为“边线曲线”，则（???）

A．“边线曲线”关于对称

B．“边线曲线”在处切线的斜率为

C．存在“边线点”，使得

D．“边线点”到原点距离的最小值为2

三、填空题

12．已知，若，曲线y=fx的对称中心为，则.

四、单选题

13．已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则.

五、填空题

14．甲、乙两同学进行某项没有平局的比赛，规定：每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一方先得到3分为止，先得3分的一方赢得比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立.若比赛进行5局时甲获胜，则甲获胜的概率最大时的值为.

六、解答题

15．记的内角、、的对边分别为、、，已知，且.

(1)若，求的面积；

(2)若，求的取值范围.

16．已知正项等比数列的前项和为且.

(1)求；

(2)求数列的前项的和.

17．如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是直角三角形，，点、分别在、上，且，，.

??

(1)若平面，求；

(2)若，求二面角的余弦值.

18．已知为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆的左，右焦点分别为是椭圆上一动点，且的最大值为2.

(1)求椭圆的方程；

(2)记到椭圆在点处切线的距离为，求的值；

(3)若射线与直线交于点，点在射线上，满足.过点作直线与椭圆相交于点，且点为弦AB的中点，证明：直线过定点.

19．已知函数，，其中为自然对数的底数.

(1)证明：在上单调递减；

(2)若，，求的最小值；

(3)若，函数的图象与轴交于，两点，求的取值范围.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

C

B

D

A

D

D

BD

ACD

题号

11

13

答案

AD

30

1．B

【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求出的范围即可.

【详解】由，得，则，

所以的最大值为.

故选：B

2．B

【分析】根据已知计算求出即可.

【详解】，，则,

所以.

故选：B.

3．C

【分析】根据向量垂直的坐标运算得出，进而应用同角三角函数关系得出.

【详解】由，

可得，

所以，即得.

故选：C.

4．B

【分析】根据已知先求出点的轨迹方程再结合两点间距离及三角换元得出最小值即可.

【详解】圆,设圆心,圆的半径为，

因为过点与圆相切的两条直线切点分别为，两条切线的夹角为，则，

所以，又因为，所以，所以，

设点Px,y，可得，即得，

设，则点到原点距离，

当时，点到原点距离最小值为.

故选：B.

??

5．D

【分析】先根据韦达定理计算得出，再应用二倍角的正切公式计算即可.

【详解】因为是方程的两根，

所以，

所以，

则.

故选：D.

6．A

【分析】先