广东省广州华南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含答案解析）.docx

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广东省广州华南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（????）

A． B． C． D．

2．函数是定义在上的奇函数，当时，，则（????）

A． B．2 C． D．

3．直线的倾斜角为（????）

A．30° B．45° C．60° D．90°

4．已知直线平分圆：的周长，则（????）

A． B． C． D．

5．双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（????）

A． B． C．2 D．4

6．若是第二象限角，且，则（????）

A． B． C． D．

7．如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（????）

A． B．

C． D．

8．已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知向量，，则（????）

A．若，则 B．若，共线，则

C．不可能是单位向量 D．若，则

10．已知为正实数，，则（）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值3 D．的最小值为16

11．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如下图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，，，设的离心率为，则（????）

A．若，则

B．四边形的面积与的面积之比为

C．四边形的内切圆方程为

D．设椭圆外阴影部分的面积为，椭圆内阴影部分的面积为，则

三、填空题

12．直线恒过的定点坐标为.

13．已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为.

14．已知椭圆的一个焦点为，短轴的长为为上异于的两点.设，且，则的周长的最大值为.

四、解答题

15．记的内角，，所对的边分别为，，，且.

(1)求；

(2)若为边上一点，，，，求.

16．已知圆与轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线上．

（1）求圆的方程；

（2）圆与圆：相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．

17．（本题不能使用空间向量）如图，在三棱柱中，底面中角为直角，，侧面底面，，直线与平面所成角为.

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角的正弦值.

18．已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，.

（i）求证：为定值；

（ii）设直线，证明：直线过定点.

19．若坐标平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲线”，正方形为曲线的一个“切立方”.

(1)试写出圆的一个切立方的四条边所在直线的方程；

(2)已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，求双曲线的离心率的取值范围；

(3)已知为函数的图像上任一点，则函数在点处的切线方程为.若奇函数的定义域为，且在时，设函数的图像为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

D

A

B

C

D

B

C

AD

ACD

题号

11

答案

ABD

1．A

【分析】直接解出集合，根据交集含义即可.

【详解】，

则.

故选：A.

2．D

【分析】根据奇函数的性质求解即可.

【详解】解：因为是定义在上的奇函数，当时，，

所以.

故选：D.

3．A

【分析】通过斜率求出倾斜角

【详解】整理得,直线斜率为，，

所以倾斜角为30°.

故选：A

4．B

【分析】由已知可得直线过圆心，代入圆心坐标可求.

【详解】由，可得圆心为，

因为直线平分圆：的周长，

所以直线过圆的圆心，则，解得.

故选：B.

5．C

【分析】利用双曲线的性质计算即可.

【详解】由双曲线方程易知C的渐近线为，

所以，则.

故选：C

6．D

【分析】通过诱导公式求出，化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式求解即可.

【详解】

是第二象限角，且，，

，

故选：D.

7．B

【分析】设，取