第5节 第2课时　利用导数证明不等式--2025高中数学一轮复习课件基础版（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

第5节函数与导数中的综合问题

第2课时利用导数证明不等式

考点一作差构造单函数法证明不等式

考点一考点二考点三考点四

不要漏掉这种情形

x

规范解答:(1)解函数f(x)的定义域为R,且f(x)ae-1.1分

xx

当a≤0时,ae≤0,所以f(x)ae-10恒成立,因此f(x)在R上单调递减.2分

x

当a0时,令f(x)ae-10,解得x-lna,当x-lna时,f(x)0,f(x)在(-∞,-lna)内

单调递减;当x-lna时,f(x)0,f(x)在(-lna,+∞)内单调递增.4分

综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a0时,f(x)在(-∞,-lna)内单调递减,在

(-lna,+∞)内单调递增.5分

分类讨论后要将结果进行综述

考点一考点二考点三考点四

将欲证不等式转化借助(1)中单调性得到函数的最小值

构造函数确定函数最小值证得结果

考点一考点二考点三考点四

x对f(x)放缩

首先证明常用放缩不等式e≥x+1

将欲证不等式进行转化

构造函数确定函数最小值证得结果考点一考点二考点三考点四

规律方法

作差构造单函数证明不等式

(1)当欲证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减

右”的函数,有时对复杂的式子要进行变形,利用导数研究其单调性和最

值,借助所构造函数的单调性和最值即可得证.

(2)利用作差构造单函数法证明不等式的基本步骤:

①作差或变形;

②构造函数g(x);

③利用导数研究g(x)的单调性或最值;

④根据单调性及最值,得到欲证的不等式.

考点一考点二考点三考点四

x

[对点训练1](12分)(2024·安徽阜阳模拟)已知函数f(x)(2-x)e.

(1)求函数f(x)在区间[-1,2]上的最值;

考点一考点二考点三考点四

考点二拆分构造双函数法证明不等式

考点一考点二考点三考点四

考点一考点二考点三考点四

考点一考点二